Prédire

Mon modèle estimé est

On me demande de trouver un IC prédictif à 95% de confiance pour la moyenne de , lorsque et . Nous devons supposer que , où .$y_0$$x_{02}=250$$x_{03}=8$$s^2 x_0(X^TX)^{-1}x_0^T=0.000243952$$x_0=(250,8)$

J'ai une solution d'une année précédente, qui va comme ceci:

Je trouve le CI de la forme , où est le quantile supérieur de distribution et . Cela me donne .$\text{CI}(E[ln(y_0)|x_0])=\left[\hat\ln(y_t)-t_{\alpha/2}s_E,\hat \ln(y_t)+t_{\alpha/2}s_E\right]$$t$$\alpha/2$$t(n-k)$$s_E=\sqrt{0.000243952}$$[7.1563,7.2175]$

Ensuite, l'auteur fait .$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{7.1563},e^{7.2175}]=[1282.158,1363.077]$

Je ne suis pas d'accord avec cette dernière étape (par l'inégalité de Jensen, nous sous-estimerons). Dans l'Introduction à l'économétrie de Wooldridge, à la page 212, il déclare que si nous sommes sûrs que les termes d'erreur sont normaux, alors un estimateur cohérent est:

Donc, je pensais faire

Est-ce correct?

En outre, la solution de cet exercice indique que , ce qui est loin de l'une ou l'autre solution que j'ai.$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[624.020,663.519]$

Toute aide serait appréciée.

PS: J'ai également lu que la correction ne doit pas être utilisée pour le CI mais uniquement pour l'estimation ponctuelle$\hat E[y_0|x_0]$

Vous ne trouvez pas la même réponse à cause de ce que je soupçonne être une erreur typographique, ce qui serait donc la principale raison de votre problème: serait réglé sur , pas . Une autre possibilité, si vous conservez , est une erreur dans le deuxième coefficient estimé, par exemple, au lieu de .$x_{03}$$80$$8$$x_{03}=8$$\hat{\beta}_2 = -0.1$$-0.01$

Quoi qu'il en soit, l'une de ces modifications résout tout et donne le même résultat que la solution à cet exercice.

Compte tenu de ce changement, avec , on obtient$t_{\alpha/2}=1.96476138969835$

Méthode 1

$\text{CI}(E[y_0|x_0])=[e^{6.43618291164626},e^{6.49755798189177}]=[624.020307335178,663.519326788772]$ (la solution donnée pour cet exercice)

ou

Méthode 2

toutefois

il est très peu probable que la méthode 2 soit correcte, car, comme vous le mentionnez dans votre question, la [...] correction (sous-estimation) ne devrait pas être utilisée pour l'IC mais uniquement pour l'estimation ponctuelle.

Pourquoi ? Je dirais qu'en raison de la dépendance entre les deux termes, connaître les attentes de une part et d'autre part ne signifie pas que l'on connaisse celle d' .$e^{s^2/2}$$\hat{y_0}$$e^{\frac{s^2}{2} + \hat{\ln(y_0)}}$

La prédiction ponctuelle et l'IC sont différents.

Pour la prédiction ponctuelle, nous avons intérêt à corriger le biais autant que possible. Pour CI, ce qui est requis depuis le début est que la probabilité soit égale à . Lorsque est l'IC à 95% pour par exemple, est certainement un IC à 95% pour parce que . Votre est donc certainement un CI valide.$100(1-\alpha)\%$$[a,b]$$\ln(y_0)$$[e^a,e^b]$$y_0$$P(a\le \ln X\le b) = P(e^a \le X \le e^b)$$[e^{7.1563}, e^{7.2175}]$

Mais le centre de ce CI n'est ni le prédicteur naïf (exp [prédicteur de ]) ni le prédicteur corrigé de (un facteur de correction multiplié par le prédicteur naïf) en raison de l'inégalité de Jensen, mais cela n'a pas vraiment d'importance. Dans certains cas (pas toujours), vous pouvez être en mesure de changer le CI en pour certains et sorte que la probabilité est toujours de 95% et son centre est le biais- prédicteur corrigé, mais je n'y vois pas l'intérêt.$\ln y_0$$y_0$$[e^{a-p}, e^{b-q}]$$p$$q$

Ce que vous avez suggéré, c'est-à-dire que n'est pas un IC à 95%. Pour voir pourquoi, supposons que le facteur de correction soit (non aléatoire et parfaitement connu, par souci de simplicité), donc le prédicteur à biais corrigé est , où est le prédicteur sans biais de ( dans votre exemple). Ce " " peut être estimé par par exemple, mais alors que ce dernier est aléatoire, est supposé non aléatoire afin de le rendre simple. Soit l'IC à 95% pour , c'est-à-dire$[e^{s^2/2}e^a,e^{s^2/2}e^b]$$h$$he^{\theta}$$\theta$$\ln y_0$$\hat\beta_0 + \hat\beta_2 \ln x_2 + \hat\beta_3 x_3$$h$$e^{s^2/2}$$h$$[a,b]$$\ln y_0$$P(a\le \ln y_0\le b)=0.95$. Alors, qui n'est pas égal à sauf si la distribution de est uniforme, ce qui n'est généralement pas le cas.

ÉDITER

Ce qui précède concerne le CI de , pas de . La question initiale concerne le CI pour . Soit , qui est estimé par . Dans ce cas, je pense que la méthode Delta est une option utile (voir la réponse de luchonacho).$y_0$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0)$$E(y|X=x_0) = h\exp(x_0\beta)$$\hat{h} \exp(x_0 \hat{\beta})$

Pour être rigoureux, nous avons besoin de la distribution conjointe de et , ou pour être précis, la distribution asymptotique du vecteur . Ensuite, la distribution limite de est dérivée en utilisant la méthode Delta puis les CI pour peut être construit.$\hat{h}$$\hat\beta$$\sqrt{n}[(\hat\beta-\beta)', \hat{h}-h]'$$\sqrt{n}[\hat{h} \exp(x_0\hat{\beta}) - h\exp(x_0\beta)]$$h\exp(x_0\beta)$

Utilisez la méthode Delta . Supposons que la distribution asymptotique des grands échantillons d'un seul paramètre soit:$\beta$

(en supposant que votre estimation est cohérente)

De plus, vous êtes intéressé par une fonction de , disons . Ensuite, une approximation de Taylor de premier ordre de ce qui précède conduit à la distribution asymptotique suivante:$\hat{\beta}$$F(\hat{\beta})$

Dans votre cas, est . De là, vous pouvez construire le CI comme d'habitude.$F(\hat{\beta})$$e^\hat{\beta}$

Source et plus de détails dans le document lié.