Dans le modèle néo-keynésien à linéarisation logarithmique, que signifient réellement

C'est peut-être une question étrange, mais les termes me confondent malheureusement. Supposons un modèle new-keynésien linéarisé comme suggéré par Gali ici: http://crei.cat/people/gali/pdf_files/monograph/slides-ch3.pdf

Ma première question est, apparemment, la valeur constante est supposée faire la linéarisation de journal de$Y$ , sortie, mais estce Y une valeur constante, ou toute voie de sortie constante? De manière équivalente, Y a-t-il une évolution de la production si Y t évolue sans facteurs stochastiques ni erreurs selon le taux naturel à long terme?$Y_t$$Y$$Y$$Y_t$

Ma deuxième question, liée à la première, est de savoir si fait référence à la production totale ou à la production normalisée. En d’autres termes, si l’économie a un taux de croissance de la production positif, Y t-il une croissance? Ou est-ce une sortie normalisée qui ne change pas sans éléments stochastiques?$Y_t$$Y_t$

Ma troisième question est, ce qui signifie réellement. Si je comprends bien, il suffit de vous connecter Y t . Est-ce correct?$y_t$$\log Y_t$

Le fait que l’équation de la consommation existe semble confirmer l’intuition selon laquelle est un chemin de sortie stable, et non une valeur constante constante, le taux d’intérêt réel étant souvent positif pour l’économie. Ma confusion vient de là, et je ne suis pas sûr que ce soit une compréhension correcte.$Y$

La linéarisation du journal est effectuée au voisinage d'un état stable avec inflation nulle, sortie constante et marges constantes par rapport au coût marginal, comme indiqué sur la diapositive 11 de la présentation Galí que vous associez. Par conséquent, est en effet censé être une valeur constante, le niveau de sortie en régime permanent autour duquel est effectuée la linéarisation du journal. Y t est simplement le niveau de la production totale dans la période t , alors que y t = $Y$$Y_t$$t$ est la valeur log de la production totale, comme vous le dites.$y_t=\log Y_t$

Plusieurs points supplémentaires qui semblent pertinents ici:

• Cette dérivation du modèle de base néo-keynésien est réalisée en supposant qu'il n'y a pas de croissance de la production tendancielle en régime permanent. Nous pouvons seulement être sûrs que les équations logarithmées sont approximativement correctes pour les situations où tout écart par rapport à cet état stable à croissance nulle est suffisamment faible. Évidemment, étant donné que nous vivons dans un monde où la croissance de la tendance est manifestement positive, il s’agit là d’un problème potentiel - c’est donc une préoccupation très valable de votre part.
• $r^n=\rho+\sigma \psi_{ya}g_a$$g_a$$\sigma=1$$\sigma$$\beta$
• $Y$$Y_t$$y_t$$\tilde{y}_t\equiv y_t-y_t^n$$y_t^n$$a_t$$\sigma\neq 1$
• $\beta<1$$r_t^n = \rho$$\rho=-\log \beta$

Le post suivant explique d’une manière un peu plus facile ce qui se passe exactement lorsque nous enregistrons la linéarisation d’un modèle.

http://economictheoryblog.com/2012/06/22/latexgx_t/

En parcourant l'exemple fourni, il devrait être clair quelles sont les étapes à suivre.

Divulgation complète: Je n'ai pas lu les notes de cours que vous avez fournies avec une attention particulière, mais je pense pouvoir répondre à votre question.

Edit: Attention, en ne lisant pas attentivement le lien fourni par la question, quelque chose me manque.

Les modèles standard néo-keynésiens (tels que celui présenté par Gali) sont modélisés sans croissance. Si vous écrivez le modèle, vous pouvez le représenter comme une équation à différence:

$$0 = E_t \left[ F(X_{t+1}, X_t, X_{t-1}, Z_{t}) \right]$$

$X_t$$Z_t$$X_t$$Z_t = 0$

$$0 = F(X, X, X, 0)$$

$X$$\bar{X}$$Y$ et c'est une valeur constante.

$X_t$ il fait référence à la valeur réelle qui est prise (alias si vous avez résolu le modèle et simulé il exactement, c’est la valeur qu’il aurait).

$f(X_t, Y_t) = g(Z_t)$

• Prendre des journaux
• Premier ordre Taylor Expansion
• Algèbre

Nous prenons d’abord des bûches,

$$\ln(f(X_t, Y_t)) = \ln(g(Z_t))$$

Si nous faisons une expansion de Taylor de premier ordre autour de l’état stable, alors nous pouvons écrire:

$$\ln(f(X_t, Y_t)) \approx \ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y)$$

$$\ln(g(Z_t)) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

Ainsi, nous pouvons écrire:

$$\ln(f(X, Y)) + \frac{f_x(X, Y)}{f(X, Y)} (X_t - X) + \frac{f_y(X, Y)}{f(X, Y)} (Y_t - Y) \approx \ln(g(Z)) + \frac{g_z(Z)}{g(Z)} (Z_t - Z)$$

$f(X, Y) = g(Z)$$\frac{X}{X}$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(X_t - X)}{X} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \frac{(Y_t - Y)}{Y} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$

$\hat{x_t} := \frac{(X_t - X)}{X}$$\hat{y_t} = \frac{(Y_t - Y)}{Y}$$\hat{z_t} := \frac{(Z_t - Z)}{Z}$$X_t$$X$$Y_t$$Z_t$

$$\frac{X f_x(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{x_t} + \frac{Y f_y(X, Y)}{f(X, Y)} \hat{y_t} \approx \frac{Z g_z(Z)}{g(Z)} \hat{z_t}$$

Deux dernières choses. Tout d’abord, une subtilité qui m’a pris au dépourvu la première fois que j’ai basculé entre un pourcentage de déviation et de vraies valeurs et que vous voudrez peut-être connaître; Les valeurs qui ne sont pas normalement négatives peuvent être négatives car cela signifie simplement que ce pourcentage est inférieur à l'état d'équilibre. Deuxièmement, les formes fonctionnelles facilitent généralement leur simplification, comme vous l’avez probablement vu dans les équations à logarithèse linéaire présentées.

$y_t := \log Y_t$

J'espère que cela a aidé.