L'utilité attendue d'un agent dépend uniquement de la moyenne et de la variance

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Considérons un agent avec la fonction d’utilité attendue sur la loterie où est la probabilité de l’état , sont l' état les gains et pour est l'indice de l' utilité au cours de gains. Montrer que l'utilité attendue de cet agent ne dépend que de la moyenne et de la variance des gains dépendants de l'état. $U(L) = \sum_{s=1}^{S}\pi_s U(Y_s)$ $L = (Y_s, \pi_s)$ $\pi_s$ $s$ $Y_s$ $s$ $U(y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$ $Y_s < \alpha$

Je ne comprends pas vraiment ce que la question me demande de montrer. Toutes les suggestions ou commentaires sont grandement appréciés. Plus précisément, la question me demande-t-elle de trouver et si oui, comment pouvons-nous procéder lorsque nous n'avons pas vraiment de distribution définie pour ? De plus, ce qui signifie même que l'utilité moyenne attendue de l'agent dépend uniquement de la moyenne et de la variance des gains dépendants de l'État. Cela n’a aucun sens pour moi, je n’ai pas beaucoup de formation en économie en tant qu’étudiant diplômé en mathématiques appliquées.

E [U (s_{s})]

$E[U(s_s)]$

V a r [U (Y_{s})]

$Var[U(Y_s)]$

Y_{s}

$Y_s$

microeconomics financial-economics expected-utility

— Wolfy
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Je ne vois pas très bien quelle partie de la question vous ne comprenez pas. Le problème pourrait être celui de l'économie, des mathématiques ou de l'anglais. S'il vous plaît élaborer.

— Giskard

@denesp Je ne suis pas sûr de savoir comment obtenir la moyenne et la variance.

— Wolfy

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\begin{array}{rcl} U (L) & = & \sum_{s = 1}^{S} π_{s} U (Y_{s}) = \sum_{s = 1}^{S} (- \frac{1}{2} π_{s} (α - Y_{s})^{2}) = - \frac{1}{2} \sum_{s = 1}^{S} (π_{s} (α^{2} + Y_{s}^{2} - 2 α Y_{s})) \\ = & - \frac{1}{2} (α^{2} \sum_{s = 1}^{S} π_{s} + \sum_{s = 1}^{S} π_{s} Y_{s}^{2} - 2 α \sum_{s = 1}^{S} π_{s} Y_{s}) = - \frac{1}{2} (α^{2} + E (L^{2}) - 2 α E (L)) \\ = & - \frac{1}{2} (α^{2} + E (L^{2}) - (E (L))^{2} + (E (L))^{2} - 2 α E (L)) \\ = & - \frac{1}{2} (α^{2} + V (L) + (E (L))^{2} - 2 α E (L)) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \displaystyle U(L) & = &\sum_{s=1}^{S}\pi_s U(Y_s) = \sum_{s=1}^{S} \left(-\frac{1}{2}\pi_s(\alpha - Y_s)^2\right) = -\frac{1}{2}\sum_{s=1}^{S} \left(\pi_s(\alpha^2 + Y_s^2-2\alpha Y_s)\right) \\ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2\sum_{s=1}^{S} \pi_s + \sum_{s=1}^{S} \pi_sY_s^2-2\alpha \sum_{s=1}^{S} \pi_sY_s\right) = -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{E}(L^2)-2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \\ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{E}(L^2) - (\mathbb{E}(L))^2 + (\mathbb{E}(L))^2 -2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \\ &=& -\frac{1}{2}\left(\alpha^2 + \mathbb{V}(L) + (\mathbb{E}(L))^2 -2\alpha \mathbb{E}(L)\right) \end{eqnarray*}$

Ainsi, l’utilité de la loterie ne dépend que de la valeur attendue - et de la variance - des gains subordonnés à un état. $\mathbb{E}(L)$ $\mathbb{V}(L)$

— Amit
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Afin de comprendre ce problème, je vais travailler sur le cas générique. Supposons qu'un utilisateur dispose d'un utilitaire quadratique généralisé (Bernoulli) similaire à votre problème:

u (x) = β x^{2} + γ x

$u(x) = \beta x^2 + \gamma x$

et supposons qu'il existe une distribution pour le résultat de , notée . Ainsi, l’utilité de cette distribution est égale à $x$ $F(x)$

\begin{aligned} \int u (x) d F (x) & = \int (β x^{2} + γ x) d F (x) \\ = β \int x^{2} d F (x) + γ \int x d F (x) \\ = β \int x^{2} d F (x) + [- β {(\int x d F (x))}^{2} + β {(\int x d F (x))}^{2}] + γ \int x d F (x) \\ = [β \int x^{2} d F (x) - β {(\int x d F (x))}^{2}] + β {(\int x d F (x))}^{2} + γ \int x d F (x) \\ = β \cdot (variance of F(x)) + β \cdot (mean of F(x))^{2} + γ \cdot (mean of F(x)) \end{aligned}

$\begin{align} \int u(x) \text{d}F(x) & = \int (\beta x^2 + \gamma x) \text{d}F(x) \\ & = \beta \int x^2 \text{d}F(x) + \gamma \int x \text{d}F(x) \\ & = \beta \int x^2 \text{d}F(x) + \left[ - \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 + \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 \right] + \gamma \int x \text{d}F(x) \\ & = \left[\beta \int x^2 \text{d}F(x) - \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 \right] + \beta \left(\int x \text{d}F(x)\right)^2 + \gamma \int x \text{d}F(x) \\ & = \beta\cdot(\text{variance of F(x)}) + \beta\cdot(\text{mean of F(x)})^2 + \gamma \cdot (\text{mean of F(x)}) \end{align}$

Donc, l'utilité est déterminée par la moyenne et la variance de la distribution des gains. Si vous comprenez le travail ci-dessus, alors il devrait être facile de faire le cas spécifique que vous nous avez donné. Essayez par vous-même.

Compte tenu de votre cas particulier:

U (Y_{s}) = - \frac{1}{2} (α - Y_{s})^{2}

$U(Y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$

implique

U (L) = \sum_{s = 1}^{S} π_{s} (- \frac{1}{2} (α - Y_{s})^{2})

$U(L) = \sum_{s=1}^{S}\pi_s (-\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2)$

Vous pouvez travailler sur le plan technique soit trouver ou . Bonne chance pour votre travail. $\int U(L) \text{d}L$ $\int U(Y_s) \text{d}L$

Edit: Travailler dans le cas discret signifie que l’utilisation des valeurs attendues peut s’avérer utile.

— Kitsune Cavalry
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E [U (L]

$E[U(L]$

V a r [U (L)]

$Var[U(L)]$

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Je pense que cela peut ne pas toujours être vrai comme indiqué

$U(y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$ $Y_s < \alpha$ $U(y_s) = 0$ $y_s \ge \alpha$

$\alpha=50$

$0$ $\frac12$ $30$ $\frac12$
- $0\times \frac12 + 30\times \frac12=15$ $225$
- $-\frac{1}{2}(50 - 0)^2\times \frac12 -\frac{1}{2}(50 - 30)^2\times \frac12 = -725$
$10$ $\frac9{10}$ $60$ $\frac1{10}$
- $10\times \frac9{10} + 60\times \frac1{10}=15$ $225$
- $-\frac{1}{2}(50 - 10)^2\times \frac9{10} +0\times \frac1{10} = -720$

— Henri
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U (y_{s}) = 0

$U(y_s) = 0$

y_{s} \geq α

$y_s \ge \alpha$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

- 725

$-725$

10

$10$

\frac{9}{10}

$\frac9{10}$

50

$50$

60

$60$

\frac{1}{10}

$\frac1{10}$

- 720

$-720$

C'est une hypothèse standard selon laquelle les fonctions utilitaires bien comportées sont monotones

— Henry

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U (y_{s}) = - \frac{1}{2} (α - Y_{s})^{2}

$U(y_s) = -\frac{1}{2}(\alpha - Y_s)^2$

Y_{s} < α

$Y_s < \alpha$

1

s

$s$

Y_{s} < α

$Y_s < \alpha$