Contrainte budgétaire liée aux loisirs et à la consommation

On me donne la fonction d'utilité suivante:

où x 1 représente les loisirs et x 2 représente la consommation.$u(x_{1}, x_{2})=x_{1}^2x_{2}$$x_{1}$$x_{2}$

On me donne aussi la contrainte budgétaire avec le prix de normalisé à 1:$x_{2}$

où w est le salaire et T le nombre d'heures disponibles pour l'agent.$w(T-x_{1})=x_{2}$$w$$T$

On me demande de dériver des demandes Marshalliennes. Comment suis-je censé interpréter ce problème? Dois - je envisager le prix de x 1 puisqu'il est le coût d'opportunité de loisirs? Si tel est le cas, l'agent est limité par le temps et le salaire. Je ne sais pas comment s'y prendre.$w$$x_{1}$

$\left(p_1,p_2\right)$$m$

$$x\left(p_1,p_2,m\right) = \left( \frac{2}{3} \frac{m}{p_1} , \frac{1}{3} \frac{m}{p_2} \right)$$

$p_1$$p_2$$m$

C'est un problème qui a aussi une contrainte d'inégalité, à côté de la contrainte budgétaire qui est ici donnée comme une égalité. Pour simplifier, substituez la contrainte d’égalité à la fonction d’utilité et formez un Lagrangien.

$$\Lambda = u(x_1,x_2(x_1)) + \lambda(T-x_1),\;\; \lambda \geq 0$$

$\lambda$$x_1$