Variance conditionnelle vs variance inconditionnelle dans le modèle ARCH

Je suis en train de résoudre certains problèmes. J'ai étudié des séries chronologiques, mais ma connaissance des modèles ARCH est assez basique. On me donne les informations suivantes:

$Y_t = a_0 + a_1 Y_{t-1} + \epsilon_t$

où et h t = α 0 + α 1 ε 2 t - 1 + α 2 ε 2 t - $\epsilon_t | I_{t-1} \sim N(0,h_t)$$h_t = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2$

J'ai résolu pour le suivant,

Variance conditionnelle:

$E(Y_t | I_{t-1}) = a_0 + a_1 Y_{t-1}= \mu$

puis

$Var(Y_t)=E[(Y_t- \mu)^2] = E(E_t^2) = ht = \alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2$

Variance inconditionnelle:

À ce stade, je pense que nous pouvons créer une nouvelle série pour puisque nous ne conditionnons pas, alors j’écris:$Y_t$

$Y_t = a_0 + a_1 (a_0 + a_1 Y_{t-2} + \epsilon_{t-1}) + \epsilon_t$

$Y_t = \frac{a_0}{1-a_1} + \sum_{j=0}^\infty a_1^j \epsilon_{t-j}$

$E(Y_t) = \frac{a_0}{1-a_1}$

$Var(Y_t) = E[(Y_t - \mu )^2] = \sum_{j=0}^\infty a_1^{2j} \epsilon_{t-j}^2 = (\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-2}^2) + a_1^2 (\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-2}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-3}^2) + a_1^4(\alpha_0 + \alpha_1 \epsilon_{t-3}^2 + \alpha_2 \epsilon_{t-4}^2) + \dots$

$\alpha_1 < 1$$\alpha_2 < 1$

Si je devais conclure une déclaration, est-il acceptable de conserver le modèle qui capture la volatilité en se regroupant sur deux périodes en retard?

Je ne peux pas répondre directement à votre question, mais je pense pouvoir vous éclairer. Ce que je semble montrer, c'est que sous certaines restrictions, la variance inconditionnelle est finie. Cependant, je ne suis pas sûr de savoir comment relier ma réponse à la notion de clustering de volatilité.

$\sigma^2=E(\epsilon_t^2)$$t$

$$\sigma^2=E(E(\epsilon_t^2|I_{t-1}))=E(h_t)=\alpha_0+\alpha_1\sigma^2+\alpha_2\sigma^2$$ $h_t$$\sigma^2=\frac{\alpha_0}{1-(\alpha_1+\alpha_2)}$$\alpha_1+\alpha_2<1$

$$\begin{align*}V(Y_t)&=E(V(Y_t|I_{t-1}))+V(E(Y_t|I_{t-1}))\\ &=E(\epsilon_t^2)+V(\mu_t)\\ &=\sigma^2+a_1^2V(Y_{t-1}) \end{align*}$$ $\mu_t=a_0+a_1 Y_{t-1}$$t$ $$V(Y_t)=\frac{\sigma^2}{1-a_1^2}$$ $a_1\neq\pm 1$$\alpha_1+\alpha_2<1$

Je vous encourage à noter clairement mes hypothèses. Je ne peux pas évaluer davantage cette réponse car je ne connais pratiquement rien des séries chronologiques.

$E(Y_t)=a_0+a_1E(Y_{t-1})$

$$E(Y_t)=\frac{a_0}{1-a_1}$$