dominance stochastique du second ordre sans la même moyenne

Soit et deux distributions de même moyenne. est dite deuxième ordre stochastique dominent ( • OSD ) si pour l' ensemble croissant et concave . $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Cette définition ci-dessus est équivalente à

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

On m'a dit que l'exigence que $F$ et $G$ aient la même moyenne n'est pas vraiment nécessaire. Supposons que $F$ et $G$ n'ont pas la même moyenne. Peut-on alors encore avoir l'équivalence entre $(1)$ et $(2)$ ?

NB J'ai pu montrer $(2)\Rightarrow (1)$ sans la même condition moyenne, mais pas l'inverse.

microeconomics probability

— Herr K.
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$u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

$E_F(X) < E_G(X)$

$E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

$F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
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