Comment montrer que, sur une trajectoire de croissance équilibrée, deux variables croissent au même rythme


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Si on nous dit qu'une variable est sur une trajectoire de croissance équilibrée (par hypothèse, nous supposerons la consommation), comment montrons-nous qu'une autre variable liée à la consommation (comme le capital ou la richesse) devrait croître au même taux constant que la consommation? J'ai essayé de donner l'explication verbale ci-dessous, mais on m'a reproché de ne pas être assez rigoureux.

Mon explication verbale était la suivante (dans le problème, il n'y avait que deux variables, la consommation et la richesse et on nous a dit que la consommation était sur une trajectoire de croissance équilibrée):

Si la consommation augmente à un taux constant, la richesse doit également croître au même taux constant. Si le taux de croissance de la richesse est supérieur à celui de la consommation, nous aurons une richesse positive au cours de la dernière période, de sorte que nous n'aurions pas pu maximiser l'utilité (car l'agent n'a aucune utilité de la possession de la richesse). Si le taux de croissance de la richesse est inférieur à celui de la consommation, un taux de croissance constant de la consommation ne serait pas durable sur un horizon temporel infini, car l'agent disposerait finalement de moins de richesse que nécessaire pour le niveau de consommation prescrit par l'optimalité.

Mon professeur a dit que je pourrais utiliser les FOC pour montrer qu'ils doivent croître au même rythme, mais je ne sais pas comment je le ferais. Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre?

$ \ textbf {Edit:} $ Le modèle spécifique pour lequel j'ai utilisé cet argument est celui présenté dans la question suivante: Méthode de solution pour un problème de maximisation d'horizon infini . Nous finissons par avoir une consommation à l'état stable (qui est une forme de trajectoire de croissance équilibrée avec un taux de croissance de 1). Il a dit qu'il était correct dans ce modèle que la consommation à l'état stable implique une richesse en état stable, mais que mon explication n'était pas assez rigoureuse.


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Ce n'est pas vrai dans tous les modèles. La fonction de production de votre modèle est probablement une fonction homogène du premier degré. Sinon, l'affirmation n'est pas nécessairement vraie. Alors peut-être utiliser cela aussi? Et veuillez spécifier votre modèle dans la question.
denesp

@denesp J'ai ajouté le modèle pour lequel j'ai utilisé cet argument. Je n'ai pas pensé appliquer l'homogénéité. Cependant, mon professeur a dit assez clairement qu'il recherchait des conditions de premier ordre prouvant d'une manière ou d'une autre que les taux de croissance étaient les mêmes. Il a également donné la même explication que celle que vous avez indiquée, à savoir que mon argumentation ne serait pas toujours correcte (et que j'ai simplement eu de la chance que ce soit sur cette question). C'est pourquoi j'essaie d'apprendre la technique pour la montrer de manière rigoureuse
DornerA

Bien, c'est quoi BGP? selon wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Balanced-growth_equilibrium Cela signifie que toutes les variables doivent croître à un rythme constant ...
An old man in the sea.

@Anoldmaninthesea. C’est la définition que nous utilisons, selon laquelle toutes les variables croissent à un taux constant, mais elles n’ont pas besoin de croître au même taux constant. Les taux de croissance de différentes variables peuvent être et sont souvent différents
DornerA

@ DornerA vous avez raison. ma faute. ;)
An old man in the sea.
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