Une relation de préférence continue, rationnelle et monotone, implique ?

J'ai mis à jour ma preuve en version générale comme suit: veuillez partager vos pensées et votre opinion. Merci

Afficher un préordre complet continu monotone sur $\mathbb{R^L_+}$ a $y\geq x\rightarrow y\succsim x$ .

Point de clarification Pré-commande signifie la réflexivité et la transitivité habituelles. Complète signifie que pour tout,ouContinu signifie que la relation est préservée sous des limites. Monotone signifie pour tout, si, alors. etsont respectivement des parties asymétriques et symétriques de
$X=\mathbb{R^L_+}$

$x,y\in X$ $x\succsim y$ $y\succsim x$

$x,y\in X$ $y\gg x$ $y\succ x$
$\succ$ $\sim$ $\succsim$

Résumé de la preuve
Passez par deux cas: (1). Obtenez facilement le résultat par définition. (2) Certaines composantes sont égales alors que sinon y est strictement supérieur à x. Utilisez continuité lorsque vous ajoutez une séquence de petitspositifsà y, ce qui en fait une séquenceoù pour n,. $y\gg x$ $\epsilon$ $y^n_\epsilon$ $y^n_\epsilon\gg x$ $\forall n$

Preuve
Supposons queest un précommande complet, monotone, continu sur. Cas (1)(c.-à-d.). Par définition,, ce qui implique. Cas (2)pour une. PourPour certains, laissez la séquencetelle que,. Noter la séquence $\succsim$ $X=\mathbb{R^L_L}$
$y\gg x$ $y_i>x_i$ $\forall i\in B=\{1,\dots,L\}$
$y\succ x$ $y\succsim x$

$y_j=x_j$ $j\in B$ $\forall k\not=j,k\in B, y_k>x_k.$
$\epsilon>0$ $\epsilon^n\in\mathbb{R^L_+}$ $\epsilon_j=\epsilon$ $\epsilon_k=0$
$y^n_\epsilon=y+\epsilon^n$ .
Ensuite, pour tout et , , d’où . Par continuité de , Par conséquent, . $\epsilon>0$ $\forall n$ $y^n_\epsilon\succ x$ $y^n_\epsilon\succsim x$
$\succsim$
$lim_{ϵ \to 0} y_{ϵ}^{n} = y$ $\lim_{\epsilon \to 0} {y^n_\epsilon} = y$
$y\succsim x$ $\blacksquare$

ANCIENNE VERSION

Ma question est la suivante: quel est le raisonnement valable derrière cette relation de préférence continue, rationnelle et monotone, qui implique . J'ai mis une preuve ci-dessous et j'apprécierais si vous partagez vos 2 cent sur la validité / rigueur de la preuve. Merci! $x\succsim0$

Supposons que . $x\in\mathbb{R^+_L}=\{x\in\mathbb{R^L}:x_l\geq0$ $\forall l=1,\dots,L\}$

Revendication : Pour chaque , la monotonicité implique . $x\in\mathbb{R^+_L}$ $x\succsim0$

Preuve :

(1) Supposons que . Alors, est possible. $x=(0,\dots,0)$ $x\sim0$

(2) Supposons que . Alors, par définition de préférence monotone, est est possible. $x\gg y$ $x\succ y$

(3) Supposons que des tels que et Ensuite, j’ai le processus d’élimination suivant: $\exists$ $j$ $x_j>0$ $1\leq j\leq L$

$x\succsim0$ est possible.
$x\succsim0$ et est possible. $0\succsim x$ $\iff x\sim0$
$x\succsim0$ mais pas est possible. $0\succsim x$ $\iff x\succ0$
$0\succsim x$ mais pas est impossible. $x\succsim 0$ $\iff 0\succ x$

La relation de préférence unique commune aux trois scénarios est . Par conséquent, pour chaque , la monotonicité implique . QED $x\succsim0$ $x\in\mathbb{R^+_L}$ $x\succsim0$

— Frank Swanton
source

1.) Où intervient la rationalité ou la continuité des préférences? 2.) Dans votre troisième cas, vous dites , alors comment dans ce cas?

x_{j} > 0

$x_j > 0$

0 ≿ x

$0 \succsim x$

— Kitsune Cavalry

@KitsuneCavalry (1) Jamais. LOL (2) Je renvoie mon raisonnement au chapitre 3, où les auteurs déclarent que "si est monotone, nous risquons d'être indifférents en ce qui concerne l'augmentation de la quantité de certains produits mais pas de tous." Un exemple intuitif auquel je pensais était un ensemble de produits complémentaires, donc peut-être une console de jeu et son joystick. Supposons qu'une seule personne puisse jouer par console, c'est-à-dire un joystick utilisé par console. Cela ne fait pas beaucoup de différence si vous avez 1 Playstation et 0 joystick contre 0 playstation et 0 joystick. De toute façon, vous ne pouvez pas utiliser la console de jeu.

≿

$\succsim$

— Frank Swanton

Réponses:

Si nous prenons la définition de la monotonie comme étant si alors , vous pouvez simplifier la preuve (même si elle semble correcte). $x\geqq y$ $x \succeq y$

Remarque pour tout . Donc, par la définition de la monotonie (en remplaçant essentiellement par ci-dessus), . Je ne pense pas que la continuité soit nécessaire (vérifiez les préférences lexicographiques pour vous assurer qu'elle n'est pas nécessaire pour le résultat indiqué). $\mathbf{0}\leq x$ $x\in \mathbb{R}_+^l$ $y$ $\mathbf{0}$ $x\succeq \mathbf{0}$

— Pburg
source

Parce que si votre première phrase est vraie, alors il suit trivialement que . Mais comme MWG n’affirme que «par monotonie», j’ai été contraint de travailler comme ci-dessus au cas par cas. La partie IFFY signalée par Kitsune est la suivante: toujours possible? Parce que MWG mentionne "nous pouvons être indifférents à une augmentation de la quantité de certains produits mais pas de tous". De cela, je déduit que est réalisable. Partage tes pensées!

x ≿ 0

$x\succsim0$

0 ≿ x

$0\succsim x$

x \sim 0

$x\sim0$

— Frank Swanton

Pburg, merci pour la réponse. Le problème que je rencontrais est exactement votre première phrase. Pour que , je suis parvenu à la conclusion que cela nécessite en fait à la fois la monotonie ET la relation de continuité de préférence. Mon autre tentative est ici

x \geq y \to x ≿ y

$x\geq y\rightarrow x\succsim y$

— Frank Swanton

Je vois comment vous utilisez la continuité dans l'autre tentative. Cela serait nécessaire si vous saviez seulement que implique . Mais je comprends que la monotonie nous en donne plus, à savoir que le cas 2 de votre autre tentative est déjà couvert par la définition. Je n'ai pas MWG devant moi et peut-être que les livres diffèrent par la façon dont ils incluent des qualificatifs tels que "faible", mais je suppose que la monotonie qui couvre . Parce que je pense qu’il est question de préférer faiblement les vecteurs.

x >> y

$x>>y$

x ≻ y

$x\succ y$

x ≧ 0 ⟹ x ⪰ 0

$x\geqq 0 \implies x\succeq 0$

— Pburg

Et je pense que est réalisable. Selon la définition que j'utilise, pour tout serait monotone. Ou nous pourrions supposer des compléments parfaits.

x \sim 0

$x\sim 0$

u (x) = 0

$u(x)=0$

x

$x$

— Pburg

Merci pour les commentaires. C'est excellent. Oui, je viens de suivre la définition de la monotonie telle qu’écrivée par MWG et elle n’indique pas que les vecteurs faiblement supérieurs sont faiblement préférés. Bien sûr, pour certains peut-être beaucoup, c'est évident… Il a fallu que je vérifie la preuve que j'ai liée ci-dessus pour voir cela clairement. Au niveau intuitif, cela a du sens. En ce qui concerne , les compléments parfaits fonctionnent exactement pour l'exemple que j'ai donné à Kitsune, qui était xbox one et controller. Si j'avais 0 xbox et 0 contrôleur, cela ne ferait pas beaucoup de différence si j'avais 1 xbox et 0 contrôleur. LOL

x \sim 0

$x\sim0$

— Frank Swanton

Je n'ai pas compris la dernière partie lorsque vous avez dit que est impossible. Je pense qu'il est nécessaire d'utiliser continuité + monotonicité dans (3). $0≻x$

Par exemple, prenons le cas . Supposons que nous avons deux éléments et . Ensuite, toute combinaison est supérieure à : si . Redéfinir . Ensuite, nous avons construit une séquence tel que pour tout . Par monotonicité, pour tous . Enfin, par continuité de préférences, . C'est-à-dire, (identique pour ). $\Bbb R^2$ $x_1=(0,1)$ $x_2=(1,0)$ $0$ $\alpha*x_1+(1-\alpha)*x_2 >>0$ $\alpha \in (0,1)$ $\alpha=1/n$ $x_n=(1/n)*x_1+(1-1/n)*x_2$ $x_n >> 0$ $n=2,3,...$ $x_n≿0$ $n=2,...$ $\lim_{n\to\infty}x_n≿0$ $x_2≿0$ $x_1≿0$

Cela peut être fait dans et pour tout vecteur qui a pour un certain . Par conséquent, en ajoutant ceci à la preuve que vous avez faite pour les autres cas ( et ), nous avons . Le cas (1) est impliqué par la complétude, ce qui implique la réflexivité. $\Bbb R^n$ $x_j=0$ $j$ $x=0$ $x>>0$ $x≿0$

— Belisario
source

Alvaro, je suis d'accord avec toi, et c'est ce que j'ai fait lors de ma deuxième tentative. Ce qui précède ne constitue en fait pas une preuve… oui, car j'y ai réfléchi un peu et je me suis rendu compte que la déclaration de MWG était liée à la déclaration selon laquelle «nous pourrions être indifférents face à une augmentation du montant de certains produits mais pas de tous». .

— Frank Swanton

Donc, à partir de cette déclaration, je suppose maintenant que les auteurs voulaient probablement dire que des compléments parfaits comme des consoles de jeu et des contrôleurs de jeu vidéo ou des types de paires clavier / souris rendent effectivement l’indifférence possible.

x \sim 0

$x\sim0$

— Frank Swanton

J'ai mis à jour mon message avec une nouvelle preuve, alors jetez-y un coup d'œil et partagez vos impressions.

— Frank Swanton

Je pense que la preuve est bien! Il semble que sans continuité nous pouvons avoir des x st .

0 ≻ x

$0≻x$

— Belisario

J'ai vérifié la définition de monotone dans MWG, et je conviens que selon cette définition, vous avez besoin de continuité. Il semble admis que puisse être préféré à tous les points avec ou car ils ne sont pas ordonnés par . Imaginez-le comme un complément parfait sans élimination gratuite. Vous avez une chaussure gauche et pas de chaussure droite, maintenant la chaussure gauche occupe tout simplement de la place et vous préférez la jeter plutôt que de vous occuper de l'encombrement.

(0, 0)

$(0,0)$

(a, b)

$(a,b)$

a = 0

$a=0$

b = 0

$b=0$

>>

$>>$

— Pburg