CES: Fonction de production: élasticité de substitution

Je dois prouver que $\sigma = 1/(1 + \rho)$ pour la fonction de production CES:

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

J'ai découvert que je devais résoudre l'équation suivante:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{ré (k / l)}{k / l}}{\frac{ré R T S}{R T S}} = \frac{ré (k / l)}{ré R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{ré (k / l)}{ré ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Mais je ne sais pas comment réécrire cette expression $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
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Consultez l'exemple de la production de Cobb Douglas et essayez de le résoudre pour CES. en.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substitution

— désemparé

La fonction de production est:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$ Les MPL et MPK sont respectivement:

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

q_{k} = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$ Quel est le taux auquel l peut être substitué à k?

Où $f$ est une fonction à valeur réelle différenciable d'une seule variable, nous définissons l'élasticité de f (x) par rapport à x (au point x) comme étant

σ (X) = \frac{X F^{'} (X)}{F (X)} \equiv \frac{\frac{ré F (X)}{F (X)}}{\frac{ré X}{X}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Faites un changement de variables tel que $u = ln(x)$ ( $\rightarrow x = e^u$ ) et $v=ln(f(x))$ ( $\rightarrow f(x) = e^v$ )
Notez que $v' = f'(x) / f(x)$ et $u'=\frac{1}{x}$ pour que $\frac{v^{'}}{u^{'}} = \frac{\frac{F^{'} (X)}{F (X)}}{\frac{1}{X}} = σ (X)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
Notez que c'est aussi le résultat que vous obtenez en résolvant pour $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ parce que $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ que nous résolvons via la règle de la chaîne: $\frac{ré v}{ré u} = \frac{ré v}{ré X} \cdot \frac{ré X}{ré u} = \frac{F^{'} (X)}{F (X)} \cdot X$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ qui se trouve être exactement la définition de $\sigma(x)$ .

Abordons maintenant votre problème d'élasticité.

l n (\frac{q_{k}}{q_{l}}) = l o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = l n (\frac{l}{k})^{ρ - 1} = (ρ - 1) l n (l / k) = (1 - ρ) l n (k / l)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow l n (k / l) = \frac{1}{1 - ρ} \cdot l n (\frac{q_{k}}{q_{l}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

Donc $\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
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\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$ et

ρ

$\rho$ peut être réduit à partir des dérivés MPL et MPK pour simplifier l'exposition.

— garej