Diagonal Strict Concavity Condition de Rosen

Considérons un jeu avec joueurs, avec un espace de stratégie , où est borné, et du joueur gain fonction . La condition de Rosen ( JB Rosen. L'existence et l'unicité des points d'équilibre pour les jeux concaves à n joueurs . Econometrica, 33 (3): 520-534, 1965 ) pour le caractère unique du jeu Nash Equilibrium in n players indiquant que l'équlibrium sera unique lorsque $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

fonction de paiement est concave dans sa propre stratégie $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
Il existe vecteur ( de telle sorte que la fonction est strictement concave en diagonale $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

désigne l'ensemble des joueurs. $N$

Pour définir la notion de concavité stricte diagonale, poing introduire 'pseudogradient' de la fonction , définie par: $\sigma$ Ensuite,fonctionest ditediagonale strictement dominanteenpour fixesi pour touton a:

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

$\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
source

$\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

$\sigma$

— muxamilien
source

Merci pour votre réponse! Ce que vous écrivez est essentiellement l'un des résultats de l'article original de Rosen. Quand je parle d'intuition, je veux dire quelle propriété de l'interaction stratégique dans le jeu est capturée par la condition de concavité stricte? Par exemple, cette condition indique-t-elle quelque chose sur la manière dont les actions des autres joueurs affectent le rendement du joueur i ou sur la manière dont l'action du joueur i influe sur le rendement des autres joueurs dans le match? Désolé si je n'ai pas été assez clair dans la question.

— Nidjsi