Enchères aléatoires optimales

Cette question vient de ce site Web que je lis souvent.

Deux joueurs participent à un nouveau jeu télévisé intitulé "Plus grand nombre de victoires". Les deux vont dans des cabines séparées, et chacun appuie sur un bouton, et un nombre aléatoire entre zéro et un apparaît sur un écran. (À ce stade, aucun des deux ne connaît le numéro de l'autre, mais ils savent que les numéros sont choisis dans une distribution uniforme standard.) Ils peuvent choisir de conserver ce premier numéro, ou d'appuyer à nouveau sur le bouton pour supprimer le premier numéro et en obtenir un second. nombre aléatoire, qu'ils doivent conserver. Ensuite, ils sortent de leurs cabines et voient le numéro final de chaque joueur sur le mur. Le somptueux grand prix - un boîtier rempli de lingots d'or - est décerné au joueur qui a conservé le plus grand nombre. Quel numéro est le seuil optimal pour que les joueurs rejettent leur premier numéro et en choisissent un autre? Autrement dit, dans quelle plage devraient-ils choisir de conserver le premier nombre,

C'est soit un problème d'enchères très étrange avec des joueurs symétriques (je suppose également que les joueurs sont neutres en termes de risque) ou un jeu de loterie / théorie des jeux très étrange.

Comment aborderiez-vous cette question mathématiquement et quelle réponse obtenez-vous? Il n'y a pas de prix pour moi d' obtenir la bonne réponse à l'énigme du site, je suis juste curieux. Mon intuition me dit que la coupure optimale est de 0,5, car vous avez 50 à 50 chances d'être supérieur ou inférieur au nombre de votre adversaire, qu'il répète ou non son nombre aléatoire, mais je ne suis pas sûr.

Je vais d'abord montrer que le point de coupure 0,5 (ou ) ne fonctionne pas comme un équilibre symétrique, puis vous pouvez décider vous-même si vous voulez penser au problème ou lire la réponse complète .$\frac{1}{2}$

Notons les points de par . Supposons que les deux joueurs utilisent la stratégie . Notons les nombres de joueurs et respectivement par et et leur deuxième nombre potentiel par et . Supposons que . En gardant cela, la probabilité que le joueur gagne soit Cela signifie également que est$c_x,c_y$$c = \frac{1}{2}$$x$$y$$x_1$$y_1$$x_2$$y_2$$x_1 = \frac{2}{3}$$x$

$$P\left(\frac{1}{2} \leq y_1 < \frac{2}{3} \right) + P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{2}{3}\right) = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{2}.$$ $\frac{2}{3}$la médiane de cette distribution .

Supposons maintenant . En gardant cela, la probabilité que le joueur gagne soit Mais s'il rejetait il a une probabilité de gain. donc garder (et ses environs) n'est pas optimal donc ce ne peut pas être un mouvement d'équilibre.$x_1 = \frac{1}{2}$$x$

$$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\left(y_2 < \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$ $x_1 = \frac{1}{2}$ $$P\left(y_1 < \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_2\bigg) + P\left(y_1 \geq \frac{1}{2}\right) \cdot P\bigg(x_2 > y_1\bigg) = \frac{3}{8}$$ $\frac{3}{8} > \frac{1}{4}$$x_1 = \frac{1}{2}$

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ALERTE SPOIL

Si le joueur a une coupure et que le joueur pioche et la garde, la probabilité que le joueur gagne soit Si le joueur où défausser la probabilité de gagner est Supposons qu'il existe une symétrie équilibre, c'est-à-dire . (Je ne pense pas qu'il existe d'autres équilibres mais je ne l'ai pas prouvé.)$y$$c_y$$x$$x_1 = c_y$$x$

$$P(y_1 < c_y) \cdot P(y_2 < c_y ) = c_y \cdot c_y = c_y^2.$$ $x$$x_1$ $$\begin{eqnarray*} P(y_1 \geq c_y) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c_y) \cdot P(x_2 > y_2) & = & (1 - c_y) \cdot \left(1- \frac{1 + c_y}{2} \right) + c_y \cdot \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$ $c_x = c_y = c$

Puisque la probabilité de gagner est continue dans la valeur de , la valeur de coupure est telle que si alors la probabilité de gagner est égale lorsque est conservé et lorsqu'il est rejeté. Cela signifie que $x_1$$c$$x_1 = c$$x_1$ $$\begin{eqnarray*} P(y_1 < c) \cdot P(y_2 < c) & = & P(y_1 \geq c) \cdot P(x_2 > y_1) + P(y_1 < c) \cdot P(x_2 > y_2) \\ \\ c \cdot c & = & (1 - c) \cdot \left(1 - \frac{1+c}{2}\right) + c \cdot \frac{1}{2} \\ \\ c^2 & = & \frac{1}{2} - c + \frac{c^2}{2} + \frac{c}{2} \\ \\ \frac{1}{2} \cdot c^2 + \frac{c}{2} - \frac{1}{2} & = & 0 \\ \\ c & = & \frac{\sqrt{5} - 1}{2}. \end{eqnarray*}$$

Supposons que la personne 1 choisisse un seuil de et que la personne 2 choisisse un seuil de , avec . Soit la probabilité que le nombre final de la personne 1 ne soit pas supérieur à . est égal à si et sinon. Définissez même manière. maintenant contre sur un tracé paramétrique pour . Le résultat est trois segments de ligne:$c_1$$c_2$$c_2\ge c_1$$p_1(x)$$x$$p_1(x)$$c_1x$$x<c_1$$c_1x+x-c_1$$p_2(x)$$p_2(x)$$p_1(x)$$0\le x\le1$

• Un de à , correspondant à ;$(0,0)$$(c_1^2,c_1c_2)$$0\le x\le c_1$
• Un de à , correspondant à ;$(c_1^2,c_1c_2)$$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$c_1\le x\le c_2$
• Un de à , correspondant à .$(c_1c_2+c_2-c_1,c_2^2)$$(1,1)$$c_2\le x\le1$

Ces trois segments de ligne divisent le carré unitaire en deux parties. L'aire de la partie sous le graphique est la probabilité que la personne 1 ait le nombre le plus élevé. Certaines géométries montrent que cette zone est . Pour qu'il y ait un équilibre stable, les deux dérivées partielles doivent être nulles, c'est dire$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}(c_2-c_1)(c_1c_2+c_2-1)$

$$1-c_2-2c_1c_2+c_2^2=0\\-1-c_1+2c_2-c_1^2+2c_1c_2=0$$

L'ajout des équations montre que , ce qui n'est possible que si . En substituant à nouveau dans l'une des équations, , le seul équilibre stable est donc à .$(c_2-c_1)(1+c_1+c_2)=0$$c_1=c_2$$1-c_1-c_1^2=0$$c_1=c_2=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$