Modèle de catastrophe rare de Barro (2009) dans l'ARE: comment dériver l'équation (10)?

In Barro (2009) Catastrophes rares, prix des actifs et coûts de bien-être Barro développe un modèle d'arbre Lucas avec les préférences d'Epstein-Zin.

Ma question concerne l'équation de l'article (10). Dans cette équation, Barro déclare que sous la solution optimale, l'utilité est proportionnelle à la consommation C t rasée à la puissance de 1 - γ , où γ est le coefficient d'aversion relative au risque, c'est-à-dire$U_t$$C_t$$1-\gamma$$\gamma$

$U_t=\Phi C_t^{1-\gamma}$

Bien que je comprenne la logique de ce résultat, je ne comprends pas comment il dérive la constante $\Phi$ , qui est montrée dans la note de bas de page 7 du document mentionné:

Alberto Giovannini et Philippe Weil (1989, annexe) montrent que, avec la fonction d'utilité dans l'équation (9), l'utilité atteinte, , est proportionnelle à la richesse élevée à la puissance 1 - γ . La forme de l'équation (10) suit parce que C t est choisi de manière optimale comme un rapport constant à la richesse dans le cas iid. La formule pour Φ est, si γ ≠ 1 θ ≠ 1 , Φ = ( $U_t$$1-\gamma$$C_t$$\Phi$$\gamma \neq 1$ $\theta \neq 1$

$$\Phi = (\frac{1}{1-\gamma})\{\rho+(\theta-1)g^* - (1/2)\gamma(\theta -1)\sigma^2 - (\frac{\theta-1}{\gamma-1})p[E(1-b)^{1-\gamma} - 1 - (\gamma - 1)Eb] \}^{(\gamma-1)/(1-\theta)}$$

Barro cite l'article NBER de 1989 de Giovannini et Weil. Dans cet article, je peux dériver la constante. Cependant, cela semble complètement différent de la version de Barro, car je me retrouve avec une expression qui inclut , où R t est le rendement des capitaux propres. Je crois que Barro a remplacé E [ R 1 - γ t ] par la solution d'équilibre de R t . Cependant, son expression n'inclut aucun journal ou expression exp.$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$$E[R_t^{1-\gamma}]$$R_t$

Je serais reconnaissant pour une solution ou des indices à la solution.

Je pense que Barro signifie dans la note de bas de page que Giovanni et Weil trouvent la même équation, , mais en utilisant le chemin optimal de C t . Dans l'article de Barro, l'approche est différente étant donné que la dynamique de C t est exogène: C t = Y t par hypothèse.$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$C_t$$C_t$$C_t=Y_t$

Barro utilise le cas limite lorsque la durée d'une période se rapproche de 0. Ce qui peut déranger le lecteur, c'est que le modèle est défini comme discret.

Réécrire le modèle

Tout d'abord, nous pouvons réécrire le modèle avec une longueur de période puis utiliser δ → 0 . La dynamique du PIB écrit log ( Y t + δ ) = log ( Y t ) + g δ + u t + δ + v t + δ avec u t + δ ∼ N ( 0 , δ σ 2 ) , et v t + δ$\delta$$\delta\to 0$

$$\log(Y_{t+\delta})=\log(Y_t)+g\delta+u_{t+\delta}+v_ {t+\delta}$$ $u_{t+\delta}\sim \mathcal{N}(0,\delta\sigma^2)$ avec probabilité 1 - p δ et log ( 1 - b ) avec probabilité p δ . L'utilité satisfait U t = $v_{t+\delta}=0$$1-p\delta$$\log(1-b)$$p\delta$ $$U_t=\frac{1}{1-\gamma}\left\lbrace C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}\left[(1-\gamma)E_tU_{t+\delta}\right]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace^\frac{1-\gamma}{1-\theta}.$$

$\Phi$$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$\Phi$$U_t=\Phi C^{1-\gamma}$$\Phi$$\delta$$H(U)=[(1-\gamma)U]^\frac{1-\theta}{1-\gamma}$

$$\begin{align} H(U_t)= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(E_tU_{t+\delta}). \end{align}$$ $U_t$ $$\begin{align} H(\Phi)C_t^{1-\theta}= C_t^{1-\theta}+\frac{1}{1+\rho\delta}H(\Phi)\left(E_t\left[C_{t+\delta}^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$ $C_t\neq 0$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left(E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}. \end{align}$$

$E_t\left[\left(\frac{C_{t+\delta}}{C_t}\right)^{1-\gamma}\right]$

$$\begin{align} \left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $u_{t+1}$$v_{t+1}$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).E_t\exp\left((1-\gamma)u_{t+\delta}\right).E_t\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right). \end{align}$$ $\exp(X)$$X$$\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\exp(\sigma^2/2)$$\exp\left((1-\gamma)v_ {t+\delta}\right)$$1$$1-p\delta$$(1-b)^{1-\gamma}$$p\delta$ $$\begin{align} E_t\left(\frac{Y_{t+\delta}}{Y_t}\right)^{1-\gamma}= \exp\left((1-\gamma)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)^2\sigma^2\delta}{2}\right).\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $C_t=Y_t$$\Phi$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-\frac{1}{1+\rho\delta}\left\lbrace\exp\left((1-\theta)g\delta\right).\exp\left(\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\right.\\ &\left. .\left(1-p\delta+pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right)^\frac{1-\theta}{1-\gamma}\right\rbrace. \end{align}$$

$\delta\to 0$

$$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= 1-(1-\rho\delta). \left(1+(1-\theta)g\delta\right).\left(1+\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\right)\\ & .\left(1-\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta+\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta\right). \end{align}$$ $\delta^i$$i>1$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g\delta-\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $g$$g^*=g+\frac{\sigma^2}{2}-pEb$ $$\begin{align} \frac{1}{H(\Phi)}&= \rho\delta -(1-\theta)g^*\delta+(1-\theta)\frac{\sigma^2}{2}\delta -(1-\theta)pEb\delta -\frac{(1-\gamma)(1-\theta)\sigma^2\delta}{2}\\ & +\frac{1-\theta}{1-\gamma}p\delta-\frac{1-\theta}{1-\gamma}pE[(1-b)^{1-\gamma}]\delta. \end{align}$$ $\delta=1$$H$