Modèle de Solow: Steady State v Balanced Growth Path

D'accord, j'ai donc de réels problèmes à faire la distinction entre le concept d'état stable et la trajectoire de croissance équilibrée dans ce modèle:

$$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$$

On m'a demandé de dériver les valeurs à l'état stationnaire du capital par travailleur effectif:

$$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$$

Ainsi que le rapport de l'état d'équilibre du capital à la production (K / Y):

$$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$$

J'ai trouvé ces deux éléments très bien, mais on m'a également demandé de trouver la "valeur en régime permanent du produit marginal du capital, dY / dK". Voici ce que j'ai fait:

$$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$$ $$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$$

Substitution de K à l'état d'équilibre (calculée lors de l'élaboration du rapport K / Y à l'état d'équilibre ci-dessus):

$$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$$

$$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$$

$$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$$

Tout d'abord, j'ai besoin de savoir si ce calcul pour la valeur d'état stable de MPK est correct?

Deuxièmement, il m'a été demandé d'esquisser les trajectoires temporelles du rapport capital-production et du produit marginal du capital, pour une économie qui converge vers sa trajectoire de croissance équilibrée "par le bas".

J'ai du mal à comprendre exactement ce qu'est la trajectoire de croissance équilibrée, par opposition à l'état d'équilibre, et comment utiliser mes calculs pour comprendre à quoi devraient ressembler ces graphiques.

Désolé pour le poste gigantesque, toute aide est grandement appréciée! Merci d'avance.

C'est alors que la tentative d'exactitude crée de la confusion et des malentendus.

À l'époque, les modèles de croissance n'intégraient pas le progrès technologique et ont conduit à un équilibre à long terme caractérisé par des amplitudes constantes par habitant. Verbalement, le terme "état d'équilibre" semble approprié pour décrire une telle situation.

Ensuite, des modèles de croissance romer et endogène sont arrivés, ce qui a également poussé les anciens modèles à commencer à inclure comme caractéristique de routine des facteurs de croissance exogènes (en dehors de la population). Et «soudainement», les termes par habitant n'étaient pas constants dans l'équilibre à long terme, mais augmentaient à un rythme constant . Initialement, la littérature décrivait une telle situation comme "un état stable des taux de croissance".

Ensuite, il apparaît que la profession a pensé quelque chose comme "il est inexact d'utiliser le mot" stable "ici parce que les grandeurs par habitant augmentent. Ce qui se passe, c'est que toutes les grandeurs croissent à un rythme équilibré (c'est-à-dire au même rythme, et donc leurs ratios restent Et comme ils grandissent, ils suivent un chemin ... "Eureka!: le terme" chemin de croissance équilibré "est né.

... À la frustration des étudiants (au moins), qui doivent maintenant se rappeler que par exemple, le "chemin de selle" est en effet un chemin dans le diagramme de phase, mais le "chemin de croissance équilibré" n'est qu'un point! (parce que pour dessiner un diagramme de phase et obtenir un bon vieil équilibre à long terme, nous exprimons des grandeurs par travailleur efficace, et ces grandeurs ont un état stationnaire traditionnel. Mais nous continuons à l'appeler "chemin de croissance équilibré", parce que les grandeurs par habitant, ce qui nous intéresse, dans notre approche individualiste), continuent de croître).

Donc, "chemin de croissance équilibré" = "état d'équilibre des amplitudes par unité d'efficience du travail", et je suppose que vous pouvez trouver le reste pour votre diagramme de phases.

Suite à la conversation avec l'utilisateur @denesp dans les commentaires de ma réponse précédente, je dois clarifier ce qui suit: le dispositif graphique habituel que nous utilisons lié au modèle de croissance de Solow de base (voir par exemple ici , figure 2) n'est pas un diagramme de phase, puisque raisonnablement nous appelons des "diagrammes de phases" ceux qui contiennent des locus à changement nul, identifions leurs points de croisement comme des points fixes d'un système dynamique et examinons leurs propriétés de stabilité. Et ce n'est pas ce que nous faisons pour le modèle Solow. C'était donc une utilisation imprudente de la terminologie de ma part.

Néanmoins, nous pouvons dessiner un "diagramme semi-phase" pour le modèle de croissance de Solow, dans l' espace . En comprenant les symboles comme «par unité d'efficience du travail», nous avons le système d'équations différentielles (alors que )y = f ( k $(y,k)$$y=f(k)$

$$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$$

$$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$$ En écrivant l'équation de changement nul comme une faible inégalité pour montrer également les tendances dynamiques, nous avons

$$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$$

$$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$$

Ce système donne donc un seul lieu de changement nul, une ligne droite. Pas de points de passage pour identifier un point fixe Que pouvons-nous faire? Dessinez également la fonction de production dans le diagramme, car, en réalité, l' espace est unidimensionnel, non pas une aire, mais une ligne. Ensuite, nous obtenons$(y,k)$

Les flèches verticales / horizontales indiquant les tendances dynamiques proviennent correctement des faibles inégalités ci-dessus ( et ont tendance à croître au-dessus du lieu de changement nul). Puis, comme et sont contraints de se déplacer sur la ligne pointillée (qui est la fonction de production), il s'ensuit qu'ils se déplacent vers leur point fixe, peu importe où nous commençons. Ici, le graphique de la fonction de production représente essentiellement le chemin vers l'équilibre à long terme, car la convergence est monotone.k y $y$$k$$y$$k$