Comment fonctionne une transformée de Fourier 2D d'une image?

Je comprends comment une transformée de Fourier 1D sépare un signal en ses fréquences composantes, mais j'ai du mal à comprendre comment une transformée de Fourier 2D affecte une image 2D.

À partir d' une autre question , John Calsbeek est lié à un article intéressant sur la mesure de la qualité des fonctions de bruit . Cela a montré diverses fonctions de bruit et la transformée de Fourier de chacune.

S'agit-il d'une transformation discrète des données de pixels ou d'une transformation continue de la fonction d'interpolation continue qui est utilisée pour générer le bruit à des points arbitraires?

La forme annulaire est-elle analogue à la prise de transformées de Fourier 1D de la ligne passant par le centre de l'image à tous les angles possibles? Ou la transformation pour chaque angle possible est-elle également mesurée sur l'ensemble de l'espace 2D plutôt que seulement le long d'une ligne passant par le centre? J'essaie d'avoir une idée intuitive des changements dans l'image d'entrée qui correspondent à ceux de la transformée de Fourier.

noise fourier-transform

— trichoplax
source

Juste pour la curiosité des futures personnes, vous voudrez peut-être faire d'une "autre question" un lien vers cette question.

— porglezomp

@porglezomp c'est un bon point - c'est fait.

— trichoplax

Une transformation de Fourier 2D est effectuée en effectuant d'abord une transformation de Fourier 1D sur chaque ligne de l'image, puis en prenant le résultat et en effectuant une transformation de Fourier 1D sur chaque colonne. Ou vice versa; ça n'a pas d'importance.

Tout comme une transformée de Fourier 1D vous permet de décomposer une fonction en une somme d'ondes sinusoïdales (1D) à différentes fréquences, une transformée de Fourier 2D décompose une fonction comme une somme d'ondes sinusoïdales 2D. Ces ondes peuvent avoir des fréquences différentes le long des axes x et y. Ils ont génériquement la forme:

\exp (i \cdot (k_{x} x + k_{y} y))

$\exp \bigl(i \cdot (k_x x + k_y y) \bigr)$

$k_x$ $k_y$ $x$ $y$ $(k_x, k_y)$ $\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

$(k_x, k_y)$ $(k_x, k_y)$

Ainsi, une forme annulaire dans une transformée de Fourier 2D indique une invariance rotationnelle de la distribution des fréquences (c'est-à-dire autant d'amplitude pour les ondes dans toutes les directions), avec une plage de magnitudes étroite (de l'intérieur de l'anneau à l'extérieur). En d'autres termes, l'article utilise la transformée de Fourier pour démontrer que leur bruit est raisonnablement isotrope et limité en bande.

— Nathan Reed
source

J'aime à quel point c'est plus simple que la forme uv de l'équation. Il y a beaucoup à étudier dans DFT sur la façon dont c'est bon et ce qui peut s'améliorer.

— MisterGeeky