Supposons donc que j'ai une surface convexe lisse et non fermée. J'en déplace chaque point dans une direction normale par un facteur constant (ce facteur est le même pour tous les points de la surface).
Puis-je remplacer cette opération par Scaling + Translate uniforme ou non uniforme?
Les surfaces résultantes seront-elles mathématiquement identiques dans ces cas?
Par exemple, je veux transformer cette surface (vue latérale):
Réponses:
Non, cela ne peut pas être modélisé par une mise à l'échelle (non uniforme). Il est assez facile de construire un contre-exemple:
Le problème est que la valeur de croissance d'une section de la courbe / surface dépend de sa courbure et non de son orientation dans l'espace. Notez ici que l'arc circulaire croît uniformément dans toutes les directions (d'un facteur ) tandis que la longueur des segments horizontaux reste inchangée à une longueur de .
Bien sûr, si votre surface n'est pas seulement convexe, mais a également une courbure constante, alors ce n'est qu'un arc circulaire, et pour les cercles, votre transformation équivaut à une mise à l'échelle uniforme. Vous pouvez probablement également construire des courbes de courbure variable où votre transformation correspond à une mise à l'échelle non uniforme, mais pour les surfaces convexes générales, ce n'est pas le cas.