Pourquoi pour des réflexions parfaites, une surface doit avoir une continuité G2?

Pourquoi pour des réflexions parfaites, une surface doit avoir une continuité G2 (surface de classe A)?

Je voudrais une réponse mathématique.

rendering

— Valerio
source

Un contexte? Ou référence où vous avez lu cela? Parce que ça n'a pas de sens pour moi. De plus, si je ne me trompe pas, la continuité Gn est définie uniquement pour les surfaces polynomiales par morceaux, il n'y a aucune raison pour qu'une surface soit polynomiale et en pratique la plupart des surfaces sont linéaires par morceaux.

— tom

G2 mentionne simplement la dérivabilité géométrique n, indépendamment de tout paramétrage.

— Fabrice NEYRET du

@tom Il parle de la conception générale des surfaces comme en CAO. Non, ils n'ont pas besoin d'être des polynômes, mais dans la pratique, ils le sont souvent (sauf pour les arcs de cercle et les coniques)

— joojaa

@joojaa Than je suis toujours perplexe pourquoi l'utilisation de la notation spéciale Gn. En mathématiques, il existe une notion standard de variété différenciable Cn. Alors, Gn et Cn sont-ils les mêmes? Je pensais que le collecteur Gn est un polynôme pièce par pièce, il s'agit donc d'un collecteur C-infty, sauf au niveau des coutures de patch.

— tom

@tom C continuité est la continuité paramétrique et G est la continuité géonétrique et dans ce cas la continuité sur 2 géométries distinctes.

— joojaa

Réponses:

Ce que vous voyez sur reflète est la n-continuité des normales, qui sont la dérivée des positions. -> une surface uniquement G1 aurait un champ normal uniquement G0, c'est-à-dire avec un changement soudain de gradient dans les normales (et donc les reflets), que les yeux peuvent remarquer. Les surfaces G2 ont des champs normaux G1, qui sont suffisamment lisses pour vos yeux.

— Fabrice NEYRET
source

G0 Continuité signifie que les surfaces séparées se rencontrent,
G1 Continuité que les surfaces rencontrent au même angle,
La continuité G2 signifie que le changement d'angle correspond au point de contact.

L'exigence G2 ne signifie pas que la surface est de bonne qualité. Cela signifie simplement que sans cela, la surface n'aura pas de flux de réflexion continu afin que les humains puissent voir la différence. Cela peut être une bonne chose ou non, cela dépend de ce que vous voulez.

Mathématiquement, la normale de surface est:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Étant donné que les deux côtés sont dérivés, cela signifie que le champ de fonction de la normale de surface a un degré de moins que la surface d'origine. Ainsi, pour que la réflexion soit continue au premier degré, elle doit avoir une continuité au deuxième degré.

Jusqu'à présent, nous avons établi la relation entre la continuité de la surface et la continuité de la réflexion. Jusqu'à présent, rien ne prouve que la réflexion de la surface doit être continue au premier degré. Pour comprendre pourquoi nous devons sortir du domaine des mathématiques et entrer dans le domaine de la biologie.

L'œil est équipé d'un algorithme de détection des bords à un niveau structurel droit sur la rétine. Cet algorithme de détection de front fonctionne essentiellement comme une dérivée discrète du signal d'entrée. Donc, si votre surface n'est pas G2 continue, la détection de bord humain entre en action et apparaît. Pour les références, lisez sur Mach Bands et ainsi de suite.

La détection de front étant discrète, la continuité G2 ne suffit pas. Le changement doit non seulement être satisfait localement mais également satisfait sur la rétine. Le changement doit donc être suffisamment peu profond pour ne pas causer de problèmes.

— joojaa
source

Que signifie «Le changement doit non seulement être satisfait localement mais également satisfait sur la rétine», signifie?

— Dan Hulme

L'œil n'enregistre pas de signal continu. C'est discret, donc même si votre surface peut techniquement répondre à la condition présentée au niveau mathématique. Cela pourrait ne pas être suffisant si l'espacement des échantillons de dicrete ne voit pas le changement. La pente doit donc encore être suffisamment grande pour que l'œil humain puisse le remarquer.

— joojaa

On dirait que vous dites que la dérivée (de la normale) ne doit pas seulement être continue, mais que sa dérivée doit être inférieure à une certaine limite. Si c'est ce que vous voulez dire, je pense que le dernier paragraphe de votre réponse pourrait être plus clair.

— Dan Hulme

@DanHulme ce n'est pas une limite du dérivé, ce n'est pas une question de pente, seulement, mais l'inter-paroi de la pente. Il s'agit donc d'un échantillonnage discret. Un angle très prononcé mais une petite différence de pente peuvent donc sembler continus. De même, des changements continus sous un court mur peuvent sembler importants. Ce n'est pas une question de mathématiques, c'est une question d'échantillonnage. C'est juste difficile à qualifier de système biologique.

— joojaa