Remarque importante : Étant donné que ce défi ne s'applique qu'aux matrices carrées, chaque fois que j'utilise le terme «matrice», on suppose que je fais référence à une matrice carrée. Je laisse la description «carré» par souci de concision.
Contexte
De nombreuses opérations liées aux matrices, telles que le calcul du déterminant, la résolution d'un système linéaire ou l'extension des fonctions à valeurs scalaires aux matrices sont rendues plus faciles en utilisant une matrice diagonale (une dont les éléments qui ne sont pas sur la diagonale principale sont 0) qui est similaire à la matrice d'origine (c'est-à-dire, pour la matrice d'entrée Aet la matrice diagonale D, il existe une matrice inversible Ptelle que D = P^(-1) * A * P; également, Det Apartagent certaines propriétés importantes, comme les valeurs propres, le déterminant et la trace). Pour les matrices avec des valeurs propres distinctes (les racines du polynôme caractéristique de la matrice, donné en résolvant det(A-λI) = 0pour λ, où Iest la matrice d'identité avec les mêmes dimensions que A), la diagonalisation est simple:Dest une matrice avec les valeurs propres sur la diagonale principale, et Pest une matrice formée de vecteurs propres correspondant à ces valeurs propres (dans le même ordre). Ce processus est appelé eigendecomposition .
Cependant, les matrices avec des valeurs propres répétées ne peuvent pas être diagonalisées de cette manière. Heureusement, la forme normale de Jordan de n'importe quelle matrice peut être calculée assez facilement et n'est pas beaucoup plus difficile à travailler qu'une matrice diagonale régulière. Il a également la belle propriété que, si les valeurs propres sont uniques, la décomposition de Jordan est identique à la composition propre.
Décomposition de la Jordanie expliquée
Pour une matrice carrée Adont les valeurs propres ont toutes une multiplicité géométrique de 1, le processus de décomposition de Jordan peut être décrit comme tel:
- Soit
λ = {λ_1, λ_2, ... λ_n}la liste des valeurs propres deA, avec multiplicité, avec des valeurs propres répétées apparaissant consécutivement. - Créez une matrice diagonale
Jdont les éléments sont les éléments deλ, dans le même ordre. - Pour chaque valeur propre avec une multiplicité supérieure à 1, placez a
1à droite de chacune des répétitions de la valeur propre dans la diagonale principale deJ, sauf la dernière.
La matrice résultante Jest une forme normale de Jordan de A(il peut y avoir plusieurs formes normales de Jordan pour une matrice donnée, selon l'ordre des valeurs propres).
Un exemple concret
Soit Ala matrice suivante:
Les valeurs propres de A, avec multiplicité, sont λ = {1, 2, 4, 4}. En les mettant dans une matrice diagonale, nous obtenons ce résultat:
Ensuite, nous plaçons 1s à droite de toutes les valeurs propres répétées sauf une. Puisque 4c'est la seule valeur propre répétée, nous plaçons un simple à 1côté du premier 4:
Il s'agit d'une forme normale de Jordan A(une matrice unique peut potentiellement avoir plusieurs formes normales de Jordan valides, mais je passe sous silence ce détail à des fins d'explication).
La tâche
Étant donné une matrice carrée Aen entrée, affichez une forme normale de Jordan valide A.
- L'entrée et la sortie peuvent être dans n'importe quel format raisonnable (tableau 2D / liste / peu importe, liste / tableau / quoi que ce soit des vecteurs de colonne ou de ligne, un type de données de matrice intégré, etc.).
- Les éléments et valeurs propres de
Aseront toujours des entiers dans la plage[-200, 200]. - Par souci de simplicité, toutes les valeurs propres auront une multiplicité géométrique de 1 (et donc le processus ci-dessus est valable).
Asera au plus une matrice 10x10 et au moins une matrice 2x2.- Les chaînes intégrées qui calculent des valeurs propres et / ou des vecteurs propres ou effectuent une décomposition par eigend, une décomposition de Jordan ou tout autre type de décomposition / diagonalisation ne sont pas autorisées. L'arithmétique matricielle, l'inversion matricielle et d'autres fonctions intégrées matricielles sont autorisées.
Cas de test
[[1, 0], [0, 1]] -> [[1, 1], [0, 1]]
[[3, 0], [0, 3]] -> [[1, 1], [0, 1]]
[[4, 2, 2], [1, 2, 2],[0, 3, 3]] -> [[6, 0, 0], [0, 3, 0], [0, 0, 0]]
[[42, 48, 40, 64, 64], [41, 47, 31, 58, 42], [-55, -47, -27, -74, -46], [-46, -58, -46, -70, -68], [30, 20, 12, 34, 18]] -> [[10, 0, 0, 0, 0], [0, -18, 0, 0, 0], [0, 0, 6, 1, 0], [0, 0, 0, 6, 1], [0, 0, 0, 0, 6]]
Last@JordanDecomposition@#&? Ou triche-t-il?