RPython (PyPy 4.0.1), 4032
RPython est un sous-ensemble restreint de Python, qui peut être traduit en C puis compilé à l'aide de RPython Toolchain. Son but exprimé est d'aider à la création d'interprètes de langue, mais il peut également être utilisé pour compiler des programmes simples.
Pour compiler, téléchargez la source PyPy actuelle (PyPy 4.0.1) et exécutez ce qui suit:
$ pypy /pypy-4.0.1-src/rpython/bin/rpython --opt=3 good-primes.py
L'exécutable résultant sera nommé good-primes-cou similaire dans le répertoire de travail actuel.
Notes de mise en œuvre
Le générateur de nombres premiers primesest un tamis d'Ératosthène illimité, qui utilise une roue pour éviter tout multiple de 2 , 3 , 5 ou 7 . Il s'appelle également de manière récursive pour générer la prochaine valeur à utiliser pour le marquage. Je suis assez satisfait de ce générateur. Le profilage de ligne révèle que les deux lignes les plus lentes sont:
37> n += o
38> if n not in sieve:
donc je ne pense pas qu'il y ait beaucoup de place pour l'amélioration, à part peut-être l'utilisation d'une roue plus grande.
Pour la vérification de la «qualité», tout d'abord tous les facteurs de deux sont supprimés de n-1 , en utilisant un hack bidirectionnel pour trouver la plus grande puissance de deux qui est un diviseur (n-1 & 1-n). Puisque p-1 est nécessairement pair pour tout p premier > 2 , il s'ensuit que 2 doit être l'un des facteurs premiers distincts. Ce qui reste est envoyé à la is_prime_powerfonction, qui fait ce que son nom l'indique. Vérifier si une valeur est une puissance première est "presque libre", car cela se fait simultanément avec le contrôle de primalité, avec au plus O (log p n) opérations, où p est le plus petit facteur premier de n. La division d'essai peut sembler un peu naïve, mais d'après mes tests, c'est la méthode la plus rapide pour les valeurs inférieures à 2 32 . J'économise un peu en réutilisant la roue du tamis. En particulier:
59> while p*p < n:
60> for o in offsets:
en itérant sur une roue de longueur 48, le p*p < nchèque sera sauté des milliers de fois, au prix bas et bas de pas plus de 48 opérations modulo supplémentaires. Il saute également plus de 77% de tous les candidats, plutôt que 50% en ne prenant que des cotes.
Les dernières sorties sont:
3588 (987417437 - 987413849) 60.469000s
3900 (1123404923 - 1123401023) 70.828000s
3942 (1196634239 - 1196630297) 76.594000s
4032 (1247118179 - 1247114147) 80.625000s
4176 (1964330609 - 1964326433) 143.047000s
4224 (2055062753 - 2055058529) 151.562000s
Le code est également Python valide et devrait atteindre 3588 ~ 3900 lorsqu'il est exécuté avec un interpréteur PyPy récent.
# primes less than 212
small_primes = [
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,
157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211]
# pre-calced sieve of eratosthenes for n = 2, 3, 5, 7
# distances between sieve values, starting from 211
offsets = [
10, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6,
6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4,
2, 4, 8, 6, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 6,
4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2,10, 2]
# tabulated, mod 105
dindices =[
0,10, 2, 0, 4, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 2, 0, 4, 0,
0, 6, 2, 0, 4, 0, 0, 4, 6, 0, 0, 6, 0, 0, 2,
0, 6, 2, 0, 4, 0, 0, 4, 6, 0, 0, 2, 0, 4, 2,
0, 6, 6, 0, 0, 0, 0, 6, 6, 0, 0, 0, 0, 4, 2,
0, 6, 2, 0, 4, 0, 0, 4, 6, 0, 0, 2, 0, 6, 2,
0, 6, 0, 0, 4, 0, 0, 4, 6, 0, 0, 2, 0, 4, 8,
0, 0, 2, 0,10, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 2, 0, 4, 2]
def primes(start = 0):
for n in small_primes[start:]: yield n
pg = primes(6)
p = pg.next()
q = p*p
sieve = {221: 13, 253: 11}
n = 211
while True:
for o in offsets:
n += o
stp = sieve.pop(n, 0)
if stp:
nxt = n/stp
nxt += dindices[nxt%105]
while nxt*stp in sieve: nxt += dindices[nxt%105]
sieve[nxt*stp] = stp
else:
if n < q:
yield n
else:
sieve[q + dindices[p%105]*p] = p
p = pg.next()
q = p*p
def is_prime_power(n):
for p in small_primes:
if n%p == 0:
n /= p
while n%p == 0: n /= p
return n == 1
p = 211
while p*p < n:
for o in offsets:
p += o
if n%p == 0:
n /= p
while n%p == 0: n /= p
return n == 1
return n > 1
def main(argv):
from time import time
t0 = time()
m = 0
p = q = 7
pgen = primes(3)
for n in pgen:
d = (n-1 & 1-n)
if is_prime_power(n/d):
p, q = q, n
if q-p > m:
m = q-p
print m, "(%d - %d) %fs"%(q, p, time()-t0)
return 0
def target(*args):
return main, None
if __name__ == '__main__':
from sys import argv
main(argv)
RPython (PyPy 4.0.1), 22596
Cette soumission est légèrement différente des autres publiées jusqu'à présent, en ce sens qu'elle ne vérifie pas tous les bons nombres premiers, mais effectue plutôt des sauts relativement importants. Un inconvénient de cela est que les tamis ne peuvent pas être utilisés [je me sens corrigé?] , Donc il faut se fier entièrement aux tests de primalité qui en pratique sont un peu plus lents. Il existe également un juste milieu entre le taux de croissance et le nombre de valeurs vérifiées à chaque fois. Les valeurs plus petites sont beaucoup plus rapides à vérifier, mais les valeurs plus grandes sont plus susceptibles d'avoir des écarts plus importants.
Pour apaiser les dieux mathématiques, j'ai décidé de suivre une séquence semblable à Fibonacci, ayant le prochain point de départ comme la somme des deux précédents. Si aucun nouvel enregistrement n'est trouvé après avoir vérifié 10 paires, le script passe au suivant.
Les dernières sorties sont:
6420 (12519586667324027 - 12519586667317607) 0.364000s
6720 (707871808582625903 - 707871808582619183) 0.721000s
8880 (626872872579606869 - 626872872579597989) 0.995000s
10146 (1206929709956703809 - 1206929709956693663) 4.858000s
22596 (918415168400717543 - 918415168400694947) 8.797000s
Lors de la compilation, des entiers 64 bits sont utilisés, bien que l'on suppose à quelques endroits que deux entiers peuvent être ajoutés sans débordement, donc en pratique, seuls 63 sont utilisables. Après avoir atteint 62 bits significatifs, la valeur actuelle est divisée par deux deux fois, pour éviter un débordement dans le calcul. Le résultat est que le script mélange les valeurs sur la plage 2 60 - 2 62 . Le fait de ne pas dépasser la précision des nombres natifs accélère également le script lorsqu'il est interprété.
Le script PARI / GP suivant peut être utilisé pour confirmer ce résultat:
isgoodprime(n) = isprime(n) && omega(n-1)==2
for(n = 918415168400694947, 918415168400717543, {
if(isgoodprime(n), print(n" is a good prime"))
})
try:
from rpython.rlib.rarithmetic import r_int64
from rpython.rtyper.lltypesystem.lltype import SignedLongLongLong
from rpython.translator.c.primitive import PrimitiveType
# check if the compiler supports long long longs
if SignedLongLongLong in PrimitiveType:
from rpython.rlib.rarithmetic import r_longlonglong
def mul_mod(a, b, m):
return r_int64(r_longlonglong(a)*b%m)
else:
from rpython.rlib.rbigint import rbigint
def mul_mod(a, b, m):
biga = rbigint.fromrarith_int(a)
bigb = rbigint.fromrarith_int(b)
bigm = rbigint.fromrarith_int(m)
return biga.mul(bigb).mod(bigm).tolonglong()
# modular exponentiation b**e (mod m)
def pow_mod(b, e, m):
r = 1
while e:
if e&1: r = mul_mod(b, r, m)
e >>= 1
b = mul_mod(b, b, m)
return r
except:
import sys
r_int64 = int
if sys.maxint == 2147483647:
mul_mod = lambda a, b, m: a*b%m
else:
mul_mod = lambda a, b, m: int(a*b%m)
pow_mod = pow
# legendre symbol (a|m)
# note: returns m-1 if a is a non-residue, instead of -1
def legendre(a, m):
return pow_mod(a, (m-1) >> 1, m)
# strong probable prime
def is_sprp(n, b=2):
if n < 2: return False
d = n-1
s = 0
while d&1 == 0:
s += 1
d >>= 1
x = pow_mod(b, d, n)
if x == 1 or x == n-1:
return True
for r in xrange(1, s):
x = mul_mod(x, x, n)
if x == 1:
return False
elif x == n-1:
return True
return False
# lucas probable prime
# assumes D = 1 (mod 4), (D|n) = -1
def is_lucas_prp(n, D):
Q = (1-D) >> 2
# n+1 = 2**r*s where s is odd
s = n+1
r = 0
while s&1 == 0:
r += 1
s >>= 1
# calculate the bit reversal of (odd) s
# e.g. 19 (10011) <=> 25 (11001)
t = r_int64(0)
while s:
if s&1:
t += 1
s -= 1
else:
t <<= 1
s >>= 1
# use the same bit reversal process to calculate the sth Lucas number
# keep track of q = Q**n as we go
U = 0
V = 2
q = 1
# mod_inv(2, n)
inv_2 = (n+1) >> 1
while t:
if t&1:
# U, V of n+1
U, V = mul_mod(inv_2, U + V, n), mul_mod(inv_2, V + mul_mod(D, U, n), n)
q = mul_mod(q, Q, n)
t -= 1
else:
# U, V of n*2
U, V = mul_mod(U, V, n), (mul_mod(V, V, n) - 2 * q) % n
q = mul_mod(q, q, n)
t >>= 1
# double s until we have the 2**r*sth Lucas number
while r:
U, V = mul_mod(U, V, n), (mul_mod(V, V, n) - 2 * q) % n
q = mul_mod(q, q, n)
r -= 1
# primality check
# if n is prime, n divides the n+1st Lucas number, given the assumptions
return U == 0
# primes less than 212
small_primes = [
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89,
97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,
157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211]
# pre-calced sieve of eratosthenes for n = 2, 3, 5, 7
indices = [
1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,
53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,101,103,
107,109,113,121,127,131,137,139,143,149,151,157,
163,167,169,173,179,181,187,191,193,197,199,209]
# distances between sieve values
offsets = [
10, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6,
6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4,
2, 4, 8, 6, 4, 6, 2, 4, 6, 2, 6, 6,
4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 2,10, 2]
bit_lengths = [
0x00000000, 0x00000001, 0x00000003, 0x00000007,
0x0000000F, 0x0000001F, 0x0000003F, 0x0000007F,
0x000000FF, 0x000001FF, 0x000003FF, 0x000007FF,
0x00000FFF, 0x00001FFF, 0x00003FFF, 0x00007FFF,
0x0000FFFF, 0x0001FFFF, 0x0003FFFF, 0x0007FFFF,
0x000FFFFF, 0x001FFFFF, 0x003FFFFF, 0x007FFFFF,
0x00FFFFFF, 0x01FFFFFF, 0x03FFFFFF, 0x07FFFFFF,
0x0FFFFFFF, 0x1FFFFFFF, 0x3FFFFFFF, 0x7FFFFFFF]
max_int = 2147483647
# returns the index of x in a sorted list a
# or the index of the next larger item if x is not present
# i.e. the proper insertion point for x in a
def binary_search(a, x):
s = 0
e = len(a)
m = e >> 1
while m != e:
if a[m] < x:
s = m
m = (s + e + 1) >> 1
else:
e = m
m = (s + e) >> 1
return m
def log2(n):
hi = n >> 32
if hi:
return binary_search(bit_lengths, hi) + 32
return binary_search(bit_lengths, n)
# integer sqrt of n
def isqrt(n):
c = n*4/3
d = log2(c)
a = d>>1
if d&1:
x = r_int64(1) << a
y = (x + (n >> a)) >> 1
else:
x = (r_int64(3) << a) >> 2
y = (x + (c >> a)) >> 1
if x != y:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
while y < x:
x = y
y = (x + n/x) >> 1
return x
# integer cbrt of n
def icbrt(n):
d = log2(n)
if d%3 == 2:
x = r_int64(3) << d/3-1
else:
x = r_int64(1) << d/3
y = (2*x + n/(x*x))/3
if x != y:
x = y
y = (2*x + n/(x*x))/3
while y < x:
x = y
y = (2*x + n/(x*x))/3
return x
## Baillie-PSW ##
# this is technically a probabalistic test, but there are no known pseudoprimes
def is_bpsw(n):
if not is_sprp(n, 2): return False
# idea shamelessly stolen from Mathmatica's PrimeQ
# if n is a 2-sprp and a 3-sprp, n is necessarily square-free
if not is_sprp(n, 3): return False
a = 5
s = 2
# if n is a perfect square, this will never terminate
while legendre(a, n) != n-1:
s = -s
a = s-a
return is_lucas_prp(n, a)
# an 'almost certain' primality check
def is_prime(n):
if n < 212:
m = binary_search(small_primes, n)
return n == small_primes[m]
for p in small_primes:
if n%p == 0:
return False
# if n is a 32-bit integer, perform full trial division
if n <= max_int:
p = 211
while p*p < n:
for o in offsets:
p += o
if n%p == 0:
return False
return True
return is_bpsw(n)
# next prime strictly larger than n
def next_prime(n):
if n < 2:
return 2
# first odd larger than n
n = (n + 1) | 1
if n < 212:
m = binary_search(small_primes, n)
return small_primes[m]
# find our position in the sieve rotation via binary search
x = int(n%210)
m = binary_search(indices, x)
i = r_int64(n + (indices[m] - x))
# adjust offsets
offs = offsets[m:] + offsets[:m]
while True:
for o in offs:
if is_prime(i):
return i
i += o
# true if n is a prime power > 0
def is_prime_power(n):
if n > 1:
for p in small_primes:
if n%p == 0:
n /= p
while n%p == 0: n /= p
return n == 1
r = isqrt(n)
if r*r == n:
return is_prime_power(r)
s = icbrt(n)
if s*s*s == n:
return is_prime_power(s)
p = r_int64(211)
while p*p < r:
for o in offsets:
p += o
if n%p == 0:
n /= p
while n%p == 0: n /= p
return n == 1
if n <= max_int:
while p*p < n:
for o in offsets:
p += o
if n%p == 0:
return False
return True
return is_bpsw(n)
return False
def next_good_prime(n):
n = next_prime(n)
d = (n-1 & 1-n)
while not is_prime_power(n/d):
n = next_prime(n)
d = (n-1 & 1-n)
return n
def main(argv):
from time import time
t0 = time()
if len(argv) > 1:
n = r_int64(int(argv[1]))
else:
n = r_int64(7)
if len(argv) > 2:
limit = int(argv[2])
else:
limit = 10
m = 0
e = 1
q = n
try:
while True:
e += 1
p, q = q, next_good_prime(q)
if q-p > m:
m = q-p
print m, "(%d - %d) %fs"%(q, p, time()-t0)
n, q = p, n+p
if log2(q) > 61:
q >>= 2
e = 1
q = next_good_prime(q)
elif e > limit:
n, q = p, n+p
if log2(q) > 61:
q >>= 2
e = 1
q = next_good_prime(q)
except KeyboardInterrupt:
pass
return 0
def target(*args):
return main, None
if __name__ == '__main__':
from sys import argv
main(argv)