Mathematica 18 17 caractères
J'ai choisi d'utiliser, comme mesure du «meilleur», le nombre de termes dans une représentation de fraction continue de π. Selon ce critère, les meilleures approximations rationnelles de π sont ses convergentes.
Il existe 10 convergents de π avec un dénominateur inférieur à un million. C'est moins que les 167 conditions demandées, mais je l'inclus ici car cela peut intéresser les autres.
Convergents[π, 10]
(* out *)
{3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215, 208341/66317,
312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Si vous voulez vraiment voir le dénominateur du premier convergent, il vous en coûtera 11 caractères supplémentaires:
Convergents[π, 10] /. {3 -> "3/1"}
(* out *)
{"3/1", 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215,
208341/66317, 312689/99532, 833719/265381, 1146408/364913}
Pour ceux qui sont intéressés, ce qui suit montre les relations entre les convergents, les quotients partiels et l'expression continue des fractions des convergents de π:
Table[ContinuedFraction[π, k], {k, 10}]
w[frac_] := Row[{Fold[(#1^-1 + #2) &, Last[#], Rest[Reverse[#]]] &[Text@Style[#, Blue, Bold, 14] & /@ ToString /@ ContinuedFraction[frac]]}];
w /@ FromContinuedFraction /@ ContinuedFraction /@ Convergents[π, 10]
Veuillez excuser la mise en forme incohérente des fractions continues.
"#{Math.PI}"
.