La tâche consiste simplement à voir combien plus rapidement vous pouvez calculer n choisissez n / 2 (pour même n) que la fonction intégrée en python. Bien sûr, pour les grands n, il s'agit d'un nombre plutôt élevé, donc plutôt que de sortir le nombre entier, vous devez sortir la somme des chiffres. Par exemple, pour n = 100000, la réponse est 135702. Car n=1000000ça l'est 1354815.

Voici le code python:

from scipy.misc import comb
def sum_digits(n):
   r = 0
   while n:
       r, n = r + n % 10, n / 10
   return r
sum_digits(comb(n,n/2,exact=True))

Votre score est (highest n on your machine using your code)/(highest n on your machine using my code). Votre code doit se terminer en 60 secondes ou moins.

Votre programme doit donner la sortie correcte pour tous les n pairs: 2 <= n <= (votre n le plus élevé)

Vous ne pouvez pas utiliser de code intégré ou de bibliothèques qui calculent des coefficients binomiaux ou des valeurs qui peuvent rapidement être transformées en coefficients binomiaux.

Vous pouvez utiliser n'importe quelle langue de votre choix.

Réponse principale La réponse principale actuelle avec un incroyable 680.09 est de moitié.

C ++ (GMP) - (287 000 000/422 000) = 680,09

Combinez sans vergogne le théorème de Kummer par xnor et GMP par qwr. Pas encore proche de la solution Go, je ne sais pas pourquoi.

Edit: Merci Keith Randall pour le rappel que la multiplication est plus rapide si le nombre est de taille similaire. J'ai implémenté une multiplication à plusieurs niveaux, similaire au concept de coalescence de la mémoire sur la gestion de la mémoire. Et le résultat est impressionnant. Ce qui prenait auparavant 51 secondes ne prend plus que 0,5 seconde (c'est-à-dire une amélioration de 100 fois !!)

ANCIEN CODE (n = 14 000 000)
Tamisage effectué en 0,343 s
Fait le calcul de binom en 51.929s
Fait la somme en 0.901s
14000000: 18954729

réel 0m53.194s
utilisateur 0m53.116s
sys 0m0.060s

NOUVEAU CODE (n = 14 000 000)
Tamisage effectué en 0,343 s
Fait le calcul de binom en 0,552s
Fait la somme en 0.902s
14000000: 18954729

réel 0m1.804s
utilisateur 0m1.776s
sys 0m0.023s

La course pour n=287,000,000

Tamisage effectué en 4.211s
Fait le calcul de binom en 17.934s
Fait en 37,677s
287000000: 388788354

réel 0m59.928s
utilisateur 0m58.759s
sys 0m1.116s

Le code. Compiler avec-lgmp -lgmpxx -O3

#include <gmpxx.h>
#include <iostream>
#include <time.h>
#include <cstdio>

const int MAX=287000000;
const int PRIME_COUNT=15700000;

int primes[PRIME_COUNT], factors[PRIME_COUNT], count;
bool sieve[MAX];
int max_idx=0;

void run_sieve(){
    sieve[2] = true;
    primes[0] = 2;
    count = 1;
    for(int i=3; i<MAX; i+=2){
        sieve[i] = true;
    }
    for(int i=3; i<17000; i+=2){
        if(!sieve[i]) continue;
        for(int j = i*i; j<MAX; j+=i){
            sieve[j] = false;
        }
    }
    for(int i=3; i<MAX; i+=2){
        if(sieve[i]) primes[count++] = i;
    }
}

mpz_class sum_digits(mpz_class n){
    clock_t t = clock();
    char* str = mpz_get_str(NULL, 10, n.get_mpz_t());
    int result = 0;
    for(int i=0;str[i]>0;i++){
        result+=str[i]-48;
    }
    printf("Done summing in %.3fs\n", ((float)(clock()-t))/CLOCKS_PER_SEC);
    return result;
}

mpz_class nc2_fast(const mpz_class &x){
    clock_t t = clock();
    int prime;
    const unsigned int n = mpz_get_ui(x.get_mpz_t());
    const unsigned int n2 = n/2;
    unsigned int m;
    unsigned int digit;
    unsigned int carry=0;
    unsigned int carries=0;
    mpz_class result = 1;
    mpz_class prime_prods = 1;
    mpz_class tmp;
    mpz_class tmp_prods[32], tmp_prime_prods[32];
    for(int i=0; i<32; i++){
        tmp_prods[i] = (mpz_class)NULL;
        tmp_prime_prods[i] = (mpz_class)NULL;
    }
    for(int i=0; i< count; i++){
        prime = primes[i];
        carry=0;
        carries=0;
        if(prime > n) break;
        if(prime > n2){
            tmp = prime;
            for(int j=0; j<32; j++){
                if(tmp_prime_prods[j] == NULL){
                    tmp_prime_prods[j] = tmp;
                    break;
                } else {
                    mpz_mul(tmp.get_mpz_t(), tmp.get_mpz_t(), tmp_prime_prods[j].get_mpz_t());
                    tmp_prime_prods[j] = (mpz_class)NULL;
                }
            }
            continue;
        }
        m=n2;
        while(m>0){
            digit = m%prime;
            carry = (2*digit + carry >= prime) ? 1 : 0;
            carries += carry;
            m/=prime;
        }
        if(carries>0){
            tmp = 0;
            mpz_ui_pow_ui(tmp.get_mpz_t(), prime, carries);
            for(int j=0; j<32; j++){
                if(tmp_prods[j] == NULL){
                    tmp_prods[j] = tmp;
                    break;
                } else {
                    mpz_mul(tmp.get_mpz_t(), tmp.get_mpz_t(), tmp_prods[j].get_mpz_t());
                    tmp_prods[j] = (mpz_class)NULL;
                }
            }
        }
    }
    result = 1;
    prime_prods = 1;
    for(int j=0; j<32; j++){
        if(tmp_prods[j] != NULL){
            mpz_mul(result.get_mpz_t(), result.get_mpz_t(), tmp_prods[j].get_mpz_t());
        }
        if(tmp_prime_prods[j] != NULL){
            mpz_mul(prime_prods.get_mpz_t(), prime_prods.get_mpz_t(), tmp_prime_prods[j].get_mpz_t());
        }
    }
    mpz_mul(result.get_mpz_t(), result.get_mpz_t(), prime_prods.get_mpz_t());
    printf("Done calculating binom in %.3fs\n", ((float)(clock()-t))/CLOCKS_PER_SEC);
    return result;
}

int main(int argc, char* argv[]){
    const mpz_class n = atoi(argv[1]);
    clock_t t = clock();
    run_sieve();
    printf("Done sieving in %.3fs\n", ((float)(clock()-t))/CLOCKS_PER_SEC);
    std::cout << n << ": " << sum_digits(nc2_fast(n)) << std::endl;
    return 0;
}

Aller, 33,96 = (16300000/480000)

package main

import "math/big"

const n = 16300000

var (
    sieve     [n + 1]bool
    remaining [n + 1]int
    count     [n + 1]int
)

func main() {
    println("finding primes")
    for p := 2; p <= n; p++ {
        if sieve[p] {
            continue
        }
        for i := p * p; i <= n; i += p {
            sieve[i] = true
        }
    }

    // count net number of times each prime appears in the result.
    println("counting factors")
    for i := 2; i <= n; i++ {
        remaining[i] = i
    }
    for p := 2; p <= n; p++ {
        if sieve[p] {
            continue
        }

        for i := p; i <= n; i += p {
            for remaining[i]%p == 0 { // may have multiple factors of p
                remaining[i] /= p

                // count positive for n!
                count[p]++
                // count negative twice for ((n/2)!)^2
                if i <= n/2 {
                    count[p] -= 2
                }
            }
        }
    }

    // ignore all the trailing zeros
    count[2] -= count[5]
    count[5] = 0

    println("listing factors")
    var m []uint64
    for i := 0; i <= n; i++ {
        for count[i] > 0 {
            m = append(m, uint64(i))
            count[i]--
        }
    }

    println("grouping factors")
    m = group(m)

    println("multiplying")
    x := mul(m)

    println("converting to base 10")
    d := 0
    for _, c := range x.String() {
        d += int(c - '0')
    }
    println("sum of digits:", d)
}

// Return product of elements in a.
func mul(a []uint64) *big.Int {
    if len(a) == 1 {
        x := big.NewInt(0)
        x.SetUint64(a[0])
        return x
    }
    m := len(a) / 2
    x := mul(a[:m])
    y := mul(a[m:])
    x.Mul(x, y) // fast because x and y are about the same length
    return x
}

// return a slice whose members have the same product
// as the input slice, but hopefully shorter.
func group(a []uint64) []uint64 {
    var g []uint64
    r := uint64(1)
    b := 1
    for _, x := range a {
        c := bits(x)
        if b+c <= 64 {
            r *= x
            b += c
        } else {
            g = append(g, r)
            r = x
            b = c
        }
    }
    g = append(g, r)
    return g
}

// bits returns the number of bits in the representation of x
func bits(x uint64) int {
    n := 0
    for x != 0 {
        n++
        x >>= 1
    }
    return n
}

Fonctionne en comptant tous les facteurs premiers du numérateur et du dénominateur et en annulant les facteurs d'appariement. Multiplie les restes pour obtenir le résultat.

Plus de 80% du temps est consacré à la conversion en base 10. Il doit y avoir une meilleure façon de le faire ...

Python 3 (8,8 = 2,2 millions / 0,25 million)

C'est en Python, qui n'est pas connu pour sa vitesse, vous pouvez donc probablement mieux le porter dans une autre langue.

Générateur d' amorces extrait de ce concours StackOverflow .

import numpy
import time

def primesfrom2to(n):
    """ Input n>=6, Returns a array of primes, 2 <= p < n """
    sieve = numpy.ones(n//3 + (n%6==2), dtype=numpy.bool)
    for i in range(1,int(n**0.5)//3+1):
        if sieve[i]:
            k=3*i+1|1
            sieve[       k*k/3     ::2*k] = False
            sieve[k*(k-2*(i&1)+4)/3::2*k] = False
    return numpy.r_[2,3,((3*numpy.nonzero(sieve)[0][1:]+1)|1)]

t0 = time.clock()

N=220*10**4
n=N//2

print("N = %d" % N)
print()

print("Generating primes.")
primes = primesfrom2to(N)

t1 = time.clock()
print ("Time taken: %f" % (t1-t0))

print("Computing product.")
product = 1

for p in primes:
    p=int(p)
    carries = 0 
    carry = 0

    if p>n:
        product*=p
        continue

    m=n

    #Count carries of n+n in base p as per Kummer's Theorem
    while m:
        digit = m%p
        carry = (2*digit + carry >= p)
        carries += carry
        m//=p

    if carries >0:
        for _ in range(carries):
            product *= p

    #print(p,carries,product)

t2 = time.clock()
print ("Time taken: %f" % (t2-t1))

print("Converting number to string.")

# digit_sum = 0
# result=product

# while result:
    # digit_sum+=result%10
    # result//=10

digit_sum = 0
digit_string = str(product)

t3 = time.clock()
print ("Time taken: %f" % (t3-t2))

print("Summing digits.")
for d in str(digit_string):digit_sum+=int(d)

t4 = time.clock()
print ("Time taken: %f" % (t4-t3))
print ()

print ("Total time: %f" % (t4-t0))
print()
print("Sum of digits = %d" % digit_sum)

L'idée principale de l'algorithme est d'utiliser le théorème de Kummer pour obtenir la factorisation première du binôme. Pour chaque nombre premier, nous en apprenons la puissance la plus élevée qui divise la réponse et multiplions le produit en cours d'exécution par cette puissance du nombre premier. De cette façon, nous n'avons besoin de multiplier qu'une seule fois pour chaque nombre premier dans la décomposition en facteurs premiers de la réponse.

Sortie montrant la répartition du temps:

N = 2200000
Generating primes.
Time taken: 0.046408
Computing product.
Time taken: 17.931472
Converting number to string.
Time taken: 39.083390
Summing digits.
Time taken: 1.502393

Total time: 58.563664

Sum of digits = 2980107

Étonnamment, la plupart du temps est consacré à la conversion du nombre en chaîne pour additionner ses chiffres. Aussi surprenant, la conversion en une chaîne était beaucoup plus rapide que d'obtenir des chiffres à partir de répétitions %10et //10, même si la chaîne entière doit probablement être conservée en mémoire.

La génération des nombres premiers prend un temps négligeable (et donc je ne me sens pas injuste de copier du code existant). La somme des chiffres est rapide. La multiplication réelle prend un tiers du temps.

Étant donné que la sommation des chiffres semble être le facteur limitant, peut-être qu'un algorithme pour multiplier les nombres en représentation décimale gagnerait du temps au total en raccourcissant la conversion binaire / décimale.

Java (score 22500/365000 = 0,062)

Je n'ai pas Python sur cette machine, donc si quelqu'un pouvait marquer cela, je serais reconnaissant. Sinon, il faudra attendre.

Le goulot d'étranglement est l'ajout pour calculer la section pertinente du triangle de Pascal (90% du temps d'exécution), donc l'utilisation d'un meilleur algorithme de multiplication ne serait pas vraiment utile.

Notez que ce que la question appelle nest ce que j'appelle 2n. L'argument de ligne de commande est ce que la question appelle n.

public class CodeGolf37270 {
    public static void main(String[] args) {
        if (args.length != 1) {
            System.err.println("Usage: java CodeGolf37270 <n>");
            System.exit(1);
        }

        int two_n = Integer.parseInt(args[0]);
        // \binom{2n}{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2
        // Two cases:
        //   n = 2m: \binom{4m}{2m} = \binom{2m}{m}^2 + 2\sum_{k=0}^{m-1} \binom{2m}{k}^2
        //   n = 2m+1: \binom{4m+2}{2m+1} = 2\sum_{k=0}^{m} \binom{2m+1}{k}^2
        int n = two_n / 2;
        BigInt[] nCk = new BigInt[n/2 + 1];
        nCk[0] = new BigInt(1);
        for (int k = 1; k < nCk.length; k++) nCk[k] = nCk[0];
        for (int row = 2; row <= n; row++) {
            BigInt tmp = nCk[0];
            for (int col = 1; col < row && col < nCk.length; col++) {
                BigInt replacement = tmp.add(nCk[col]);
                tmp = nCk[col];
                nCk[col] = replacement;
            }
        }

        BigInt central = nCk[0]; // 1^2 = 1
        int lim = (n & 1) == 1 ? nCk.length : (nCk.length - 1);
        for (int k = 1; k < lim; k++) central = central.add(nCk[k].sq());
        central = central.add(central);
        if ((n & 1) == 0) central = central.add(nCk[nCk.length - 1].sq());

        System.out.println(central.digsum());
    }

    private static class BigInt {
        static final int B = 1000000000;
        private int[] val;

        public BigInt(int x) {
            val = new int[] { x };
        }

        private BigInt(int[] val) {
            this.val = val;
        }

        public BigInt add(BigInt that) {
            int[] left, right;
            if (val.length < that.val.length) {
                left = that.val;
                right = val;
            }
            else {
                left = val;
                right = that.val;
            }

            int[] sum = left.clone();
            int carry = 0, k = 0;
            for (; k < right.length; k++) {
                int a = sum[k] + right[k] + carry;
                sum[k] = a % B;
                carry = a / B;
            }
            while (carry > 0 && k < sum.length) {
                int a = sum[k] + carry;
                sum[k] = a % B;
                carry = a / B;
                k++;
            }
            if (carry > 0) {
                int[] wider = new int[sum.length + 1];
                System.arraycopy(sum, 0, wider, 0, sum.length);
                wider[sum.length] = carry;
                sum = wider;
            }

            return new BigInt(sum);
        }

        public BigInt sq() {
            int[] rv = new int[2 * val.length];
            // Naive multiplication
            for (int i = 0; i < val.length; i++) {
                for (int j = i; j < val.length; j++) {
                    int k = i+j;
                    long c = val[i] * (long)val[j];
                    if (j > i) c <<= 1;
                    while (c > 0) {
                        c += rv[k];
                        rv[k] = (int)(c % B);
                        c /= B;
                        k++;
                    }
                }
            }

            int len = rv.length;
            while (len > 1 && rv[len - 1] == 0) len--;
            if (len < rv.length) {
                int[] rv2 = new int[len];
                System.arraycopy(rv, 0, rv2, 0, len);
                rv = rv2;
            }

            return new BigInt(rv);
        }

        public long digsum() {
            long rv = 0;
            for (int i = 0; i < val.length; i++) {
                int x = val[i];
                while (x > 0) {
                    rv += x % 10;
                    x /= 10;
                }
            }
            return rv;
        }
    }
}

GMP - 1500000/300000 = 5,0

Bien que cette réponse ne soit pas en concurrence avec les tamis, le code court peut parfois obtenir des résultats.

#include <gmpxx.h>
#include <iostream>

mpz_class sum_digits(mpz_class n)
{
    char* str = mpz_get_str(NULL, 10, n.get_mpz_t());
    int result = 0;
    for(int i=0; str[i]>0; i++)

    result += str[i] - 48;

    return result;
}


mpz_class comb_2(const mpz_class &x)
{
    const unsigned int k = mpz_get_ui(x.get_mpz_t()) / 2;
    mpz_class result = k + 1;

    for(int i=2; i<=k; i++)
    {
        result *= k + i;
        mpz_divexact_ui(result.get_mpz_t(), result.get_mpz_t(), i);
    }

    return result;
}

int main()
{
    const mpz_class n = 1500000;
    std::cout << sum_digits(comb_2(n)) << std::endl;

    return 0;
}

Java, grande classe entière personnalisée: 32,9 (120000000/365000)

La classe principale est assez simple:

import java.util.*;

public class PPCG37270 {
    public static void main(String[] args) {
        long start = System.nanoTime();

        int n = 12000000;
        if (args.length == 1) n = Integer.parseInt(args[0]);

        boolean[] sieve = new boolean[n + 1];
        int[] remaining = new int[n + 1];
        int[] count = new int[n + 1];

        for (int p = 2; p <= n; p++) {
            if (sieve[p]) continue;
            long p2 = p * (long)p;
            if (p2 > n) continue;
            for (int i = (int)p2; i <= n; i += p) sieve[i] = true;
        }

        for (int i = 2; i <= n; i++) remaining[i] = i;
        for (int p = 2; p <= n; p++) {
            if (sieve[p]) continue;
            for (int i = p; i <= n; i += p) {
                while (remaining[i] % p == 0) {
                    remaining[i] /= p;
                    count[p]++;
                    if (i <= n/2) count[p] -= 2;
                }
            }
        }

        count[2] -= count[5];
        count[5] = 0;

        List<BigInt> partialProd = new ArrayList<BigInt>();
        long accum = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i++) {
            for (int j = count[i]; j > 0; j--) {
                long tmp = accum * i;
                if (tmp < 1000000000L) accum = tmp;
                else {
                    partialProd.add(new BigInt((int)accum));
                    accum = i;
                }
            }
        }
        partialProd.add(new BigInt((int)accum));
        System.out.println(prod(partialProd).digsum());
        System.out.println((System.nanoTime() - start) / 1000000 + "ms");
    }

    private static BigInt prod(List<BigInt> vals) {
        while (vals.size() > 1) {
            int n = vals.size();
            List<BigInt> next = new ArrayList<BigInt>();
            for (int i = 0; i < n; i += 2) {
                if (i == n - 1) next.add(vals.get(i));
                else next.add(vals.get(i).mul(vals.get(i+1)));
            }
            vals = next;
        }
        return vals.get(0);
    }
}

Il repose sur une grande classe entière qui est optimisée pour la multiplication et toString()qui sont toutes deux des goulots d'étranglement importants dans une implémentation avec java.math.BigInteger.

/**
 * A big integer class which is optimised for conversion to decimal.
 * For use in simple applications where BigInteger.toString() is a bottleneck.
 */
public class BigInt {
    // The base of the representation.
    private static final int B = 1000000000;
    // The number of decimal digits per digit of the representation.
    private static final int LOG10_B = 9;

    public static final BigInt ZERO = new BigInt(0);
    public static final BigInt ONE = new BigInt(1);

    // We use sign-magnitude representation.
    private final boolean negative;

    // Least significant digit is at val[off]; most significant is at val[off + len - 1]
    // Unless len == 1 we guarantee that val[off + len - 1] is non-zero.
    private final int[] val;
    private final int off;
    private final int len;

    // Toom-style multiplication parameters from
    // Zuras, D. (1994). More on squaring and multiplying large integers. IEEE Transactions on Computers, 43(8), 899-908.
    private static final int[][][] Q = new int[][][]{
        {},
        {},
        {{1, -1}},
        {{4, 2, 1}, {1, 1, 1}, {1, 2, 4}},
        {{8, 4, 2, 1}, {-8, 4, -2, 1}, {1, 1, 1, 1}, {1, -2, 4, -8}, {1, 2, 4, 8}}
    };
    private static final int[][][] R = new int[][][]{
        {},
        {},
        {{1, -1, 1}},
        {{-21, 2, -12, 1, -6}, {7, -1, 10, -1, 7}, {-6, 1, -12, 2, -21}},
        {{-180, 6, 2, -80, 1, 3, -180}, {-510, 4, 4, 0, -1, -1, 120}, {1530, -27, -7, 680, -7, -27, 1530}, {120, -1, -1, 0, 4, 4, -510}, {-180, 3, 1, -80, 2, 6, -180}}
    };
    private static final int[][] S = new int[][]{
        {},
        {},
        {1, 1, 1},
        {1, 6, 2, 6, 1},
        {1, 180, 120, 360, 120, 180, 1}
    };

    /**
     * Constructs a big version of an integer value.
     * @param x The value to represent.
     */
    public BigInt(int x) {
        this(Integer.toString(x));
    }

    /**
     * Constructs a big version of a long value.
     * @param x The value to represent.
     */
    public BigInt(long x) {
        this(Long.toString(x));
    }

    /**
     * Parses a decimal representation of an integer.
     * @param str The value to represent.
     */
    public BigInt(String str) {
        this(str.charAt(0) == '-', split(str));
    }

    /**
     * Constructs a sign-magnitude representation taking the entire span of the array as the range of interest.
     * @param neg Is the value negative?
     * @param val The base-B digits, least significant first.
     */
    private BigInt(boolean neg, int[] val) {
        this(neg, val, 0, val.length);
    }

    /**
     * Constructs a sign-magnitude representation taking a range of an array as the magnitude.
     * @param neg Is the value negative?
     * @param val The base-B digits, least significant at offset off, most significant at off + val - 1.
     * @param off The offset within the array.
     * @param len The number of base-B digits.
     */
    private BigInt(boolean neg, int[] val, int off, int len) {
        // Bounds checks
        if (val == null) throw new IllegalArgumentException("val");
        if (off < 0 || off >= val.length) throw new IllegalArgumentException("off");
        if (len < 1 || off + len > val.length) throw new IllegalArgumentException("len");

        this.negative = neg;
        this.val = val;
        this.off = off;
        // Enforce the invariant that this.len is 1 or val[off + len - 1] is non-zero.
        while (len > 1 && val[off + len - 1] == 0) len--;
        this.len = len;

        // Sanity check
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            if (val[off + i] < 0) throw new IllegalArgumentException("val contains negative digits");
        }
    }

    /**
     * Splits a string into base-B digits.
     * @param str The string to parse.
     * @return An array which can be passed to the (boolean, int[]) constructor.
     */
    private static int[] split(String str) {
        if (str.charAt(0) == '-') str = str.substring(1);

        int[] arr = new int[(str.length() + LOG10_B - 1) / LOG10_B];
        int i, off;
        // Each element of arr represents LOG10_B characters except (probably) the last one.
        for (i = 0, off = str.length() - LOG10_B; off > 0; off -= LOG10_B) {
            arr[i++] = Integer.parseInt(str.substring(off, off + LOG10_B));
        }
        arr[i] = Integer.parseInt(str.substring(0, off + LOG10_B));
        return arr;
    }

    public boolean isZero() {
        return len == 1 && val[off] == 0;
    }

    public BigInt negate() {
        return new BigInt(!negative, val, off, len);
    }

    public BigInt add(BigInt that) {
        // If the signs differ, then since we use sign-magnitude representation we want to do a subtraction.
        boolean isSubtraction = negative ^ that.negative;

        BigInt left, right;
        if (len < that.len) {
            left = that;
            right = this;
        }
        else {
            left = this;
            right = that;

            // For addition I just care about the lengths of the arrays.
            // For subtraction I want the largest absolute value on the left.
            if (isSubtraction && len == that.len) {
                int cmp = compareAbsolute(that);
                if (cmp == 0) return ZERO; // Cheap special case
                if (cmp < 0) {
                    left = that;
                    right = this;
                }
            }
        }

        if (right.isZero()) return left;

        BigInt result;
        if (!isSubtraction) {
            int[] sum = new int[left.len + 1];
            // A copy here rather than using left.val in the main loops and copying remaining values
            // at the end gives a small performance boost, probably due to cache locality.
            System.arraycopy(left.val, left.off, sum, 0, left.len);

            int carry = 0, k = 0;
            for (; k < right.len; k++) {
                int a = sum[k] + right.val[right.off + k] + carry;
                sum[k] = a % B;
                carry = a / B;
            }
            for (; carry > 0 && k < left.len; k++) {
                int a = sum[k] + carry;
                sum[k] = a % B;
                carry = a / B;
            }
            sum[left.len] = carry;

            result = new BigInt(negative, sum);
        }
        else {
            int[] diff = new int[left.len];
            System.arraycopy(left.val, left.off, diff, 0, left.len);

            int carry = 0, k = 0;
            for (; k < right.len; k++) {
                int a = diff[k] - right.val[right.off + k] + carry;
                // Why did anyone ever think that rounding positive and negative divisions differently made sense?
                if (a < 0) {
                    diff[k] = a + B;
                    carry = -1;
                }
                else {
                    diff[k] = a % B;
                    carry = a / B;
                }
            }
            for (; carry != 0 && k < left.len; k++) {
                int a = diff[k] + carry;
                if (a < 0) {
                    diff[k] = a + B;
                    carry = -1;
                }
                else {
                    diff[k] = a % B;
                    carry = a / B;
                }
            }

            result = new BigInt(left.negative, diff, 0, k > left.len ? k : left.len);
        }

        return result;
    }

    private int compareAbsolute(BigInt that) {
        if (len > that.len) return 1;
        if (len < that.len) return -1;

        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            if (val[off + i] > that.val[that.off + i]) return 1;
            if (val[off + i] < that.val[that.off + i]) return -1;
        }

        return 0;
    }

    public BigInt mul(BigInt that) {
        if (isZero() || that.isZero()) return ZERO;

        if (len == 1) return that.mulSmall(negative ? -val[off] : val[off]);
        if (that.len == 1) return mulSmall(that.negative ? -that.val[that.off] : that.val[that.off]);

        int shorter = len < that.len ? len : that.len;
        BigInt result;
        // Cutoffs have been hand-tuned.
        if (shorter > 300) result = mulToom(3, that);
        else if (shorter > 28) result = mulToom(2, that);
        else result = mulNaive(that);

        return result;
    }

    BigInt mulSmall(int m) {
        if (m == 0) return ZERO;
        if (m == 1) return this;
        if (m == -1) return negate();

        // We want to do the magnitude calculation with a positive multiplicand.
        boolean neg = negative;
        if (m < 0) {
            neg = !neg;
            m = -m;
        }

        int[] pr = new int[len + 1];
        int carry = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            long t = val[off + i] * (long)m + carry;
            pr[i] = (int)(t % B);
            carry = (int)(t / B);
        }
        pr[len] = carry;
        return new BigInt(neg, pr);
    }

    // NB This truncates.
    BigInt divSmall(int d) {
        if (d == 0) throw new ArithmeticException();
        if (d == 1) return this;
        if (d == -1) return negate();

        // We want to do the magnitude calculation with a positive divisor.
        boolean neg = negative;
        if (d < 0) {
            neg = !neg;
            d = -d;
        }

        int[] div = new int[len];
        int rem = 0;
        for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {
            long t = val[off + i] + rem * (long)B;
            div[i] = (int)(t / d);
            rem = (int)(t % d);
        }

        return new BigInt(neg, div);
    }

    BigInt mulNaive(BigInt that) {
        int[] rv = new int[len + that.len];
        // Naive multiplication
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < that.len; j++) {
                int k = i + j;
                long c = val[off + i] * (long)that.val[that.off + j];
                while (c > 0) {
                    c += rv[k];
                    rv[k] = (int)(c % B);
                    c /= B;
                    k++;
                }
            }
        }

        return new BigInt(this.negative ^ that.negative, rv);
    }

    private BigInt mulToom(int k, BigInt that) {
        // We split each number into k parts of m base-B digits each.
        // m = ceil(longer / k)
        int m = ((len > that.len ? len : that.len) + k - 1) / k;

        // Perform the splitting and evaluation steps of Toom-Cook.
        BigInt[] f1 = this.toomFwd(k, m);
        BigInt[] f2 = that.toomFwd(k, m);

        // Pointwise multiplication.
        for (int i = 0; i < f1.length; i++) f1[i] = f1[i].mul(f2[i]);

        // Inverse (or interpolation) and recomposition.
        return toomBk(k, m, f1, negative ^ that.negative, val[off], that.val[that.off]);
    }

    // Splits a number into k parts of m base-B digits each and does the polynomial evaluation.
    private BigInt[] toomFwd(int k, int m) {
        // Split.
        BigInt[] a = new BigInt[k];
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            int o = i * m;
            if (o >= len) a[i] = ZERO;
            else {
                int l = m;
                if (o + l > len) l = len - o;
                // Ignore signs for now.
                a[i] = new BigInt(false, val, off + o, l);
            }
        }

        // Evaluate
        return transform(Q[k], a);
    }

    private BigInt toomBk(int k, int m, BigInt[] f, boolean neg, int lsd1, int lsd2) {
        // Inverse (or interpolation).
        BigInt[] b = transform(R[k], f);

        // Recomposition: add at suitable offsets, dividing by the normalisation factors
        BigInt prod = ZERO;
        int[] s = S[k];
        for (int i = 0; i < b.length; i++) {
            int[] shifted = new int[i * m + b[i].len];
            System.arraycopy(b[i].val, b[i].off, shifted, i * m, b[i].len);
            prod = prod.add(new BigInt(neg ^ b[i].negative, shifted).divSmall(s[i]));
        }

        // Handle the remainders.
        // In the worst case the absolute value of the sum of the remainders is s.length, so pretty small.
        // It should be easy enough to work out whether to go up or down.
        int lsd = (int)((lsd1 * (long)lsd2) % B);
        int err = lsd - prod.val[prod.off];
        if (err > B / 2) err -= B / 2;
        if (err < -B / 2) err += B / 2;
        return prod.add(new BigInt(err));
    }

    /**
     * Multiplies a matrix of small integers and a vector of big ones.
     * The matrix has a implicit leading row [1 0 ... 0] and an implicit trailing row [0 ... 0 1].
     * @param m The matrix.
     * @param v The vector.
     * @return m v
     */
    private BigInt[] transform(int[][] m, BigInt[] v) {
        BigInt[] b = new BigInt[m.length + 2];
        b[0] = v[0];
        for (int i = 0; i < m.length; i++) {
            BigInt s = ZERO;
            for (int j = 0; j < m[i].length; j++) s = s.add(v[j].mulSmall(m[i][j]));
            b[i + 1] = s;
        }
        b[b.length - 1] = v[v.length - 1];

        return b;
    }

    /**
     * Sums the digits of this integer.
     * @return The sum of the digits of this integer.
     */
    public long digsum() {
        long rv = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            int x = val[off + i];
            while (x > 0) {
                rv += x % 10;
                x /= 10;
            }
        }
        return rv;
    }
}

Le gros goulot d'étranglement est la multiplication naïve (60%), suivie de l'autre multiplication (37%) et du tamisage (3%). L' digsum()appel est insignifiant.

Performances mesurées avec OpenJDK 7 (64 bits).

Python 2 (PyPy), 1.134.000 / 486.000 = 2,32

#/!usr/bin/pypy
n=input(); a, b, c=1, 1, 2**((n+2)/4)
for i in range(n-1, n/2, -2): a*=i
for i in range(2, n/4+1): b*=i
print sum(map(int, str(a*c/b)))

Résultat: 1537506

Fait amusant: le goulot d'étranglement de votre code consiste à ajouter des chiffres, et non à calculer le coefficient binomial.

Java (2 020 000/491 000) = 4,11

mis à jour, précédemment 2.24

Java BigIntegern'est pas le calculateur de nombres le plus rapide, mais c'est mieux que rien.

La formule de base pour cela semble être n! / ((n/2)!^2), mais cela ressemble à un tas de multiplication redondante.

Vous pouvez obtenir une accélération significative en éliminant tous les facteurs premiers du numérateur et du dénominateur. Pour ce faire, je lance d'abord un tamis primaire simple. Ensuite, pour chaque prime, je compte la puissance à laquelle il doit être élevé. Incrémenter chaque fois que je vois un facteur dans le numérateur, décrémenter pour le dénominateur.

Je gère les deux séparément (et d'abord), car il est facile de les compter / éliminer avant de les factoriser.

Une fois cela fait, vous disposez du minimum de multiplications nécessaires, ce qui est bien car la multiplication BigInt est lente .

import java.math.BigInteger;
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class CentBiCo {
    public static void main(String[] args) {
        int n = 2020000;
        long time = System.currentTimeMillis();
        sieve(n);
        System.out.println(sumDigits(cbc(n)));
        System.out.println(System.currentTimeMillis()-time);
    }

    static boolean[] sieve;
    static List<Integer> primes;
    static void sieve(int n){
        primes = new ArrayList<Integer>((int)(Math.sqrt(n)));
        sieve = new boolean[n];
        sieve[2]=true;
        for(int i=3;i<sieve.length;i+=2)
            if(i%2==1)
                sieve[i] = true;
        for(int i=3;i<sieve.length;i+=2){
            if(!sieve[i])
                continue;
            for(int j=i*2;j<sieve.length;j+=i)
                sieve[j] = false;
        }
        for(int i=2;i<sieve.length;i++)
            if(sieve[i])
                primes.add(i);
    }

    static int[] factors;
    static void addFactors(int n, int flip){
        for(int k=0;primes.get(k)<=n;){
            int i = primes.get(k);
            if(n%i==0){
                factors[i] += flip;
                n /= i;
            } else {
                if(++k == primes.size())
                    break;
            }
        }
        factors[n]++;
    }

    static BigInteger cbc(int n){
        factors = new int[n+1];
        int x = n/2;
        for(int i=x%2<1?x+1:x+2;i<n;i+=2)
            addFactors(i,1);
        factors[2] = x;
        for(int i=1;i<=x/2;i++){
            int j=i;
            while(j%2<1 && factors[2] > 1){
                j=j/2;
                factors[2]--;
            }
            addFactors(j,-1);
            factors[2]--;
        }
        BigInteger cbc = BigInteger.ONE;
        for(int i=3;i<factors.length;i++){
            if(factors[i]>0)
                cbc = cbc.multiply(BigInteger.valueOf(i).pow(factors[i]));
        }
        return cbc.shiftLeft(factors[2]);
    }

    static long sumDigits(BigInteger in){
        long sum = 0;
        String str = in.toString();
        for(int i=0;i<str.length();i++)
            sum += str.charAt(i)-'0';
        return sum;
    }
}

Oh, et la somme de sortie pour n = 2020000 est 2735298, à des fins de vérification.