Calculer des nombres pratiques


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Définition

Un entier positif nest un nombre pratique (séquence OEIS A005153 ) si tous les entiers positifs plus petits peuvent être représentés comme des sommes de diviseurs distincts de n.

Par exemple, 18est un nombre pratique: ses diviseurs sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18, et les autres entiers positifs inférieurs à 18 peuvent être formés comme suit:

 4 = 1 + 3          5 = 2 + 3           7 = 1 + 6
 8 = 2 + 6          10 = 1 + 9         11 = 2 + 9
12 = 3 + 9 = 1 + 2 + 9 = 1 + 2 + 3 + 6
13 = 1 + 3 + 9      14 = 2 + 3 + 9      15 = 6 + 9
16 = 1 + 6 + 9      17 = 2 + 6 + 9

Mais ce 14n'est pas un nombre pratique: ses diviseurs sont 1, 2, 7 et 14, et il n'y a aucun sous-ensemble de ceux-ci qui s'ajoute à 4, 5, 6, 11, 12 ou 13.

Défi

Écrivez un programme, une fonction ou un verbe qui prend en entrée un entier positif xet retourne ou imprime le x ème nombre pratique, indexé de 1 pour cohérence avec OEIS. Votre code doit être suffisamment efficace pour pouvoir gérer jusqu'à 250000 entrées en moins de deux minutes sur un ordinateur de bureau raisonnable. (NB mon implémentation de référence en Java gère 250000 en moins de 0,5 seconde, et mon implémentation de référence en Python le gère en 12 secondes).

Cas de test

Input        Expected output
1            1
8            18
1000         6500
250000       2764000
1000000      12214770
3000000      39258256

(À mon humble avis) cela peut même être intéressant si le code le plus rapide (par langue?) L'emporte
Nom d'affichage

4
@SargeBorsch Vous verrez donc des tableaux de 250 000 entrées dans toutes les réponses
Dr. belisarius

@belisarius bon point. mais je pense qu'une telle tricherie peut être facilement interdite. Ou le problème peut nécessiter des réponses correctes pour n'importe quel nombre, mais il y aurait alors des difficultés à le faire dans une langue sans grands entiers dans la bibliothèque standard ...: /
Nom d'affichage

J'ai une optimisation algorithmique en tête, mais avec les règles actuelles, je suis trop paresseux pour l'implémenter: P
Nom d'affichage

4
@SargeBorsch, si vous ne voulez pas jouer à votre code, n'hésitez pas à le télécharger sur quelque chose comme gist.github.com et déposez un lien dans un commentaire ici ou dans le chat. FWIW Je préfère le code golf avec des contraintes de performance généreuses au code le plus rapide pour deux raisons: premièrement, la longueur du code est plus objectivement mesurable; deuxièmement, il introduit un élément de compromis: quelles optimisations de vitesse peuvent être laissées de côté afin de raccourcir le code sans ruiner les performances?
Peter Taylor

Réponses:


5

J (99 caractères)

f=:3 :0
'n c'=.0 1
while.c<y do.
'p e'=.__ q:n=.n+2
c=.c+*/(}.p)<:}:1+*/\(<:p^e+1)%<:p
end.
n+n=0
)

Étant donné que l'énoncé du problème demande un "programme, fonction ou verbe ", quelqu'un a dû faire une soumission J. J les gens remarqueront que je n'ai pas vraiment joué au golf (!) Ou optimisé cela. Comme les autres entrées, j'ai utilisé le théorème de Stewart, mentionné sur le lien OEIS, pour tester si chaque nombre pair est pratique ou non.

Je n'ai pas facilement accès à un "ordinateur de bureau raisonnable" avec J installé. Sur mon netbook de six ans, il f 250000calcule en 120,6 secondes, ce qui n'est pas tout à fait en moins de deux minutes, mais probablement sur n'importe quel ordinateur un peu plus raisonnable, cela se termine à temps.


6

Mathematica, 126 121 caractères

Merci à Bélisaire.

Utilisation de la formule sur wikipedia.

f=(i=j=1;While[j<#,If[And@@Thread[#[[;;,1]]<2+Most@DivisorSum[FoldList[#Power@@#2&,1,#],#&]&@FactorInteger@++i],j++]];i)&

Exemples:

f[1]

1

f[8]

18

f[250000]

2764000

Il a fallu des années 70 pour calculer f[250000]sur mon ordinateur.


3
Je pense que vous pouvez obtenir de meilleures performances au détriment d'un caractère en contournant les entiers impairs
Dr. belisarius

1
En réduisant le code de la soumission OEIS, vous avez ralenti l'exécution de 10 fois. Je me demandais simplement: "pourquoi pensez-vous que votre code s'exécute tellement plus lentement que l'exemple OEIS?"
DavidC

@belisarius Votre suggestion coupe le temps de moitié, comme prévu.
DavidC

2
La même chose en 119 caractères:(i=j=1;While[j<#,If[And@@Thread[#[[;;,1]]<2+Most@DivisorSum[FoldList[#Power@@#2&,1,#],#&]&@FactorInteger@++i],j++]];i)&
Dr belisarius

3

Haskell - 329

s 1=[]
s n=p:(s$div n p)where d=dropWhile((/=0).mod n)[2..ceiling$sqrt$fromIntegral n];p=if null d then n else head d
u=foldr(\v l@((n,c):q)->if v==n then(n,c+1):q else(v,1):l)[(0,1)]
i z=(z<2)||(head w==2)&&(and$zipWith(\(n,_)p->n-1<=p)(tail n)$scanl1(*)$map(\(n,c)->(n*n^c-1)`div`(n-1))n)where w=s z;n=u w
f=((filter i[0..])!!)

Exemples:

> f 1
1
> f 13
32
> f 1000
6500

Voici une petite suite de tests (avant celle ci-dessus):

import Data.Time.Clock
import System.IO

test x = do
    start <- getCurrentTime
    putStr $ (show x) ++ " -> " ++ (show $ f x)
    finish <- getCurrentTime
    putStrLn $ " [" ++ (show $ diffUTCTime finish start) ++ "]"

main = do
    hSetBuffering stdout NoBuffering
    mapM_ test [1, 8, 1000, 250000, 1000000, 3000000]

Résultats des tests après avoir été compilés avec ghc -O3:

1 -> 1 [0.000071s]
8 -> 18 [0.000047s]
1000 -> 6500 [0.010045s]
250000 -> 2764000 [29.084049s]
1000000 -> 12214770 [201.374324s]
3000000 -> 39258256 [986.885397s]

Quand j'essaye ceci dans ghci, il se plaint parse error on input `='. Dois-je utiliser un drapeau ou un autre?
Peter Taylor

1
@PeterTaylor Vous ne pouvez pas coller des définitions de fonctions dans ghci comme ça. Le plus simple que vous puissiez faire est de l'enregistrer asdf.hset de l'exécuter ghci asdf.hs, puis à partir de là, vous pourrez accéderf
mniip

@PeterTaylor ghc --make -O3 [filename]. Vous pouvez également le charger dans ghci avec :l [filename]mais étant donné les contraintes de temps compilées, c'est probablement le meilleur. :)
Jonathan Van Matre

@JonathanVanMatre comme vu dans le commentaire ci-dessus, ghcicharge les fichiers spécifiés dans ses arguments
mniip

Ah ok. En attendant, je l'ai avec votre framework de test et ghc. Votre ordinateur est plus rapide que le mien, mais il reste à l'intérieur du critère de performance sur mon ordinateur à 98 secondes.
Peter Taylor

2

Javascript, 306 307 282B

function y(r){for(n=r-1,k=1;n;k++)if(p=[],e=[],c=0,P=s=1,!((x=k)%2|1==x)){while(x>1){for(f=x,j=2;j<=Math.sqrt(f);j++)if(f%j==0){f=j;break}f!=p[c-1]?(p.push(f),e.push(2),c++):e[c-1]++,x/=f}for(i=0;c>i;i++){if(p[i]>P+1){s=0;break}P*=(Math.pow(p[i],e[i])-1)/(p[i]-1)}s&&n--}return k-1}

250k env. 6s sur mon ordinateur portable.

Code non golfé commenté: http://jsfiddle.net/82xb9/3/ maintenant avec un meilleur test sigma et une meilleure condition si (merci commentaires)

Versions de pré-édition: http://jsfiddle.net/82xb9/ http://jsfiddle.net/82xb9/1/


La question demande une fonction ou un programme (JS n'a pas de verbes), donc plutôt que de ne pas compter la première ligne, vous devez envelopper la deuxième ligne dans une déclaration de fonction et remplacer la finale k--;par return k-1. Bien que cela augmente légèrement votre nombre d'octets, vous pouvez en enregistrer quelques-uns avec des choses comme le remplacement p[i]>=P+2par p[i]>P+1(et probablement en supprimant l'appel de fonction interne et en utilisant un à la breakplace).
Peter Taylor

Je pense que la partie "testing sigma" peut être réécrite à la fois pour la taille et la vitesse: jsfiddle.net/3DTSa . Bien que cette solution JS soit très rapide.
user2846289
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