C'est la séquence A054261

Le ème nombre de confinement premier est le plus petit nombre qui contient les premiers nombres premiers comme sous-chaînes. Par exemple, le nombre est le nombre le plus bas qui contient les 3 premiers nombres premiers comme sous-chaînes, ce qui en fait le 3ème nombre de confinement principal.$n$$n$$235$

Il est trivial de comprendre que les quatre premiers nombres premiers de confinement sont , , et , mais cela devient plus intéressant. Étant donné que le premier nombre premier est 11, le numéro de confinement premier suivant n'est pas , mais il est car il est défini comme le plus petit nombre avec la propriété.$2$$23$$235$$2357$$235711$$112357$

Cependant, le vrai défi vient quand vous allez au-delà de 11. Le prochain nombre de confinement principal est . Notez que dans ce nombre, les sous - chaînes et se chevauchent. Le nombre chevauche également le nombre .$113257$1113313

Il est facile de prouver que cette séquence est en augmentation, car le nombre suivant doit remplir tous les critères du nombre précédent et avoir une sous-chaîne de plus. Cependant, la séquence n'est pas strictement croissante, comme le montrent les résultats pour n=10et n=11.

Défi

Votre objectif est de trouver autant de numéros de confinement principaux que possible. Votre programme devrait les sortir de façon ordonnée, en commençant par 2 et en remontant.

Règles

1. Vous êtes autorisé à coder en dur les nombres premiers.
2. Vous n'êtes pas autorisé à coder en dur les nombres de confinement principaux ( 2est la seule exception), ou tout nombre magique qui rend le défi trivial. Soyez gentil.
3. Vous pouvez utiliser la langue de votre choix. Veuillez inclure une liste de commandes pour préparer l'environnement à l'exécution du code.
4. Vous êtes libre d'utiliser à la fois le CPU et le GPU, et vous pouvez utiliser le multithreading.

Notation

Le score officiel sera celui de mon ordinateur portable (Dell XPS 9560). Votre objectif est de générer autant de nombres de confinement principaux que possible en 5 minutes.

Spécifications

• Intel Core i7-7700HQ 2,8 GHz (boost 3,8 GHz) 4 cœurs, 8 threads.
• 16 Go de RAM DDR4 à 2400 MHz
• NVIDIA GTX 1050
• Linux Mint 18.3 64 bits

Les nombres trouvés jusqu'à présent, ainsi que le dernier nombre premier ajouté au nombre:

 1 =>                                                       2 (  2)
 2 =>                                                      23 (  3)
 3 =>                                                     235 (  5)
 4 =>                                                    2357 (  7)
 5 =>                                                  112357 ( 11)
 6 =>                                                  113257 ( 13)
 7 =>                                                 1131725 ( 17)
 8 =>                                               113171925 ( 19)
 9 =>                                              1131719235 ( 23)
10 =>                                            113171923295 ( 29)
11 =>                                            113171923295 ( 31)
12 =>                                           1131719237295 ( 37)
13 =>                                          11317237294195 ( 41)
14 =>                                        1131723294194375 ( 43)
15 =>                                      113172329419437475 ( 47)
16 =>                                     1131723294194347537 ( 53)
17 =>                                   113172329419434753759 ( 59)
18 =>                                  2311329417434753759619 ( 61)
19 =>                                231132941743475375961967 ( 67)
20 =>                               2311294134347175375961967 ( 71)
21 =>                              23112941343471735375961967 ( 73)
22 =>                             231129413434717353759619679 ( 79)
23 =>                           23112941343471735359619678379 ( 83)
24 =>                         2311294134347173535961967837989 ( 89)
25 =>                        23112941343471735359619678378979 ( 97)
26 =>                      2310112941343471735359619678378979 (101)
27 =>                    231010329411343471735359619678378979 (103)
28 =>                 101031071132329417343475359619678378979 (107)
29 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (109)
30 =>              101031071091132329417343475359619678378979 (113)
31 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (127)
32 =>           101031071091131272329417343475359619678378979 (131)
33 =>         10103107109113127137232941734347535961967838979 (137)
34 =>      10103107109113127137139232941734347535961967838979 (139)
35 =>   10103107109113127137139149232941734347535961967838979 (149)
36 => 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979 (151)

Merci à Ardnauld, Ourous et japh d'avoir étendu cette liste.

Notez que n = 10et n = 11sont le même nombre, puisque est le nombre le plus bas qui contient tous les nombres , mais il contient également .$113171923295$$[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29]$$31$

Pour référence, vous pouvez utiliser le fait que le script Python original que j'ai écrit pour générer cette liste ci-dessus calcule les 12 premiers termes en environ 6 minutes.

Règles supplémentaires

Après les premiers résultats, j'ai réalisé qu'il y avait de fortes chances que les meilleurs résultats finissent par avoir le même score. En cas d'égalité, le gagnant sera celui qui aura le moins de temps pour générer son résultat. Si deux ou plusieurs réponses produisent leurs résultats aussi rapidement, ce sera simplement une victoire à égalité.

Note finale

Le temps d'exécution de 5 minutes est seulement mis pour assurer un score équitable. Je serais très intéressé de voir si nous pouvons pousser la séquence OEIS plus loin (en ce moment, elle contient 17 chiffres). Avec le code d'Ourous, j'ai généré tous les nombres jusqu'à n = 26, mais je prévois de laisser le code fonctionner pendant une plus longue période.

Tableau d'affichage

1. Python 3 + Google OR-Tools : 169
2. Scala : 137 (non officiel)
3. Solveur Concorde TSP : 84 (non officiel)
4. Assemblage C ++ (GCC) + x86 : 62
5. Propre : 25
6. JavaScript (Node.js) : 24

Python 3 + Google OR-Tools , marque 169 en 295 secondes (score officiel)

Comment ça marche

Après avoir supprimé les nombres premiers redondants contenus dans d'autres nombres premiers, tracez un graphique dirigé avec un bord de chaque nombre premier à chacun de ses suffixes, avec la distance zéro, et un bord à chaque nombre premier de chacun de ses préfixes, avec une distance définie par le nombre de chiffres ajoutés . Nous recherchons le premier chemin lexicographiquement le plus court à travers le graphe en commençant par le préfixe vide, en passant par chaque nombre premier (mais pas nécessairement par chaque préfixe ou suffixe), et se terminant par le suffixe vide.

Par exemple, voici les bords du chemin optimal ε → 11 → 1 → 13 → 3 → 31 → 1 → 17 → ε → 19 → ε → 23 → ε → 29 → ε → 5 → ε pour n = 11, correspondant à la chaîne de sortie 113171923295.

Par rapport à la réduction directe du problème du voyageur de commerce , notez qu'en connectant indirectement les nombres premiers via ces nœuds de suffixe / préfixe supplémentaires, au lieu de les directement, nous avons considérablement réduit le nombre d'arêtes que nous devons prendre en compte. Mais comme les nœuds supplémentaires n'ont pas besoin d'être traversés exactement une fois, ce n'est plus une instance de TSP.

Nous utilisons le solveur de contraintes CP-SAT incrémentiel de Google OR-Tools, d'abord pour minimiser la longueur totale du chemin, puis pour minimiser chaque groupe de chiffres ajoutés dans l'ordre. Nous initialisons le modèle avec seulement des contraintes locales: chaque premier précède un suffixe et succède à un préfixe, tandis que chaque suffixe / préfixe précède et réussit le même nombre de nombres premiers. Le modèle résultant pourrait contenir des cycles déconnectés; si c'est le cas, nous ajoutons dynamiquement des contraintes de connectivité supplémentaires et réexécutons le solveur.

Code

import multiprocessing
from ortools.sat.python import cp_model


def superstring(strings):
    def gen_prefixes(s):
        for i in range(len(s)):
            a = s[:i]
            if a in affixes:
                yield a

    def gen_suffixes(s):
        for i in range(1, len(s) + 1):
            a = s[i:]
            if a in affixes:
                yield a

    def solve():
        def find_string(s):
            found_strings.add(s)
            for i in range(1, len(s) + 1):
                a = s[i:]
                if (
                    a in affixes
                    and a not in found_affixes
                    and solver.Value(suffix[s, a])
                ):
                    found_affixes.add(a)
                    q.append(a)
                    break

        def cut(skip):
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
            )
            model.AddBoolOr(
                skip
                + [
                    suffix[s, a]
                    for s in unused_strings
                    if s not in found_strings
                    for a in gen_suffixes(s)
                    if a in found_affixes
                ]
                + [
                    prefix[a, s]
                    for s in found_strings
                    for a in gen_prefixes(s)
                    if a not in found_affixes
                ]
            )

        def search():
            while q:
                a = q.pop()
                for s in prefixed[a]:
                    if (
                        s in unused_strings
                        and s not in found_strings
                        and solver.Value(prefix[a, s])
                    ):
                        find_string(s)
            return not (unused_strings - found_strings)

        while True:
            if solver.Solve(model) != cp_model.OPTIMAL:
                raise RuntimeError("Solve failed")

            found_strings = set()
            found_affixes = set()
            if part is None:
                found_affixes.add("")
                q = [""]
            else:
                part_ix = solver.Value(part)
                p, next_affix, next_string = parts[part_ix]
                q = []
                find_string(next_string)
            if search():
                break

            if part is not None:
                if part_ix not in partb:
                    partb[part_ix] = model.NewBoolVar("partb%s_%s" % (step, part_ix))
                    model.Add(part == part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix])
                    model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(partb[part_ix].Not())
                cut([partb[part_ix].Not()])
                if last_string is None:
                    found_affixes.add(next_affix)
                else:
                    find_string(last_string)
                q.append(next_affix)
                if search():
                    continue

            cut([])

    solver = cp_model.CpSolver()
    solver.parameters.num_search_workers = 4
    affixes = {s[:i] for s in strings for i in range(len(s))} & {
        s[i:] for s in strings for i in range(1, len(s) + 1)
    }
    prefixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_prefixes(s):
            prefixed.setdefault(a, []).append(s)
    suffixed = {}
    for s in strings:
        for a in gen_suffixes(s):
            suffixed.setdefault(a, []).append(s)
    unused_strings = set(strings)
    last_string = None
    part = None

    model = cp_model.CpModel()
    prefix = {
        (a, s): model.NewBoolVar("prefix_%s_%s" % (a, s))
        for a in affixes
        for s in prefixed[a]
    }
    suffix = {
        (s, a): model.NewBoolVar("suffix_%s_%s" % (s, a))
        for a in affixes
        for s in suffixed[a]
    }
    for s in strings:
        model.Add(sum(prefix[a, s] for a in gen_prefixes(s)) == 1)
        model.Add(sum(suffix[s, a] for a in gen_suffixes(s)) == 1)
    for a in affixes:
        model.Add(
            sum(suffix[s, a] for s in suffixed[a])
            == sum(prefix[a, s] for s in prefixed[a])
        )

    length = sum(prefix[a, s] * (len(s) - len(a)) for a in affixes for s in prefixed[a])
    model.Minimize(length)
    solve()
    model.Add(length == solver.Value(length))

    out = ""
    for step in range(len(strings)):
        in_parts = set()
        parts = []
        for a in [""] if last_string is None else gen_suffixes(last_string):
            for s in prefixed[a]:
                if s in unused_strings and s not in in_parts:
                    in_parts.add(s)
                    parts.append((s[len(a) :], a, s))
        parts.sort()
        part = model.NewIntVar(0, len(parts) - 1, "part%s" % step)
        partb = {}
        for part_ix, (p, a, s) in enumerate(parts):
            if last_string is not None:
                model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(suffix[last_string, a].Not())
            model.Add(part != part_ix).OnlyEnforceIf(prefix[a, s].Not())
        model.Minimize(part)
        solve()
        part_ix = solver.Value(part)
        model.Add(part == part_ix)
        p, a, last_string = parts[part_ix]
        unused_strings.remove(last_string)
        out += p
    return out


def gen_primes():
    yield 2
    n = 3
    d = {}
    for p in gen_primes():
        p2 = p * p
        d[p2] = 2 * p
        while n <= p2:
            if n in d:
                q = d.pop(n)
                m = n + q
                while m in d:
                    m += q
                d[m] = q
            else:
                yield n
            n += 2


def gen_inputs():
    num_primes = 0
    strings = []

    for new_prime in gen_primes():
        num_primes += 1
        new_string = str(new_prime)
        strings = [s for s in strings if s not in new_string] + [new_string]
        yield strings


with multiprocessing.Pool() as pool:
    for i, out in enumerate(pool.imap(superstring, gen_inputs())):
        print(i + 1, out, flush=True)

Résultats

Voici les 1000 premiers nombres de confinement principaux , calculés en 1½ jours sur un système à 8 cœurs / 16 fils.

Assemblage C ++ (GCC) + x86, score _{32 36} 62 en 259 secondes (officiel)

Résultats calculés jusqu'à présent. Mon ordinateur manque de mémoire après 65.

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
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40 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
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45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
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57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694347535961998389
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535961998389
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64 10103071071091271311371391491515716316721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
65 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989

Tous sont d'accord avec la sortie du solveur basé sur Concorde , ils ont donc de bonnes chances d'être corrects.

Journal des modifications:

• Calcul incorrect pour la longueur de contexte nécessaire. La version précédente était 1 trop volumineuse et comportait également un bogue. Résultat: 32 34

• Ajout d'une optimisation de groupe de contexte égal. Résultat: 34 36

• Refonte de l'algorithme pour utiliser correctement les chaînes sans contexte, ainsi que d'autres optimisations. Résultat: 36 62

• Ajout d'une écriture appropriée.

• Ajout de la variante des nombres premiers.

Comment ça marche

Attention: c'est une décharge cérébrale. Faites défiler jusqu'à la fin si vous voulez juste le code.

Abréviations:

• PCN : problème du nombre de confinement principal, c.-à-d. Ce défi
• SCS : superstring commune la plus courte
• TSP : problème du voyageur de commerce

Ce programme utilise essentiellement l'algorithme de programmation dynamique des manuels pour le TSP.

1. Plus une réduction de PCN / SCS, le problème que nous résolvons réellement, à TSP.
2. De plus, en utilisant des contextes d'élément au lieu de tous les chiffres de chaque élément.
3. De plus, il subdivise le problème en fonction de nombres premiers qui ne peuvent pas chevaucher les extrémités d'autres nombres premiers.
4. Plus la fusion des calculs pour les nombres premiers avec les mêmes chiffres de début / fin.
5. Plus des tables de recherche précalculées et une table de hachage personnalisée.
6. De plus, quelques prélecture de bas niveau et compression de bits.

C'est beaucoup de bugs potentiels. Après avoir joué avec l'entrée de anselm et avoir échoué à en tirer des résultats erronés, je devrais au moins prouver que mon approche globale est correcte.

Bien que la solution basée sur Concorde soit (beaucoup, beaucoup) plus rapide, elle est basée sur la même réduction, donc cette explication s'applique aux deux. De plus, cette solution peut être adaptée pour OEIS A054260 , la séquence de nombres premiers contenant des nombres premiers; Je ne sais pas comment résoudre cela efficacement dans le cadre du TSP. C'est donc encore un peu pertinent.

Réduction du TSP

Commençons par prouver que la réduction au TSP est correcte. Nous avons un ensemble de chaînes, disons

A = 13, 31, 37, 113, 137, 211

et nous voulons trouver la plus petite chaîne supérieure contenant ces éléments.

Connaître la longueur suffit

Pour le PCN, s'il existe plusieurs chaînes plus courtes, nous devons renvoyer la plus petite lexicographiquement. Mais nous examinerons un problème différent (et plus facile).

• SCS : étant donné un préfixe initial et un ensemble d'éléments, recherchez la chaîne la plus courte contenant tous les éléments en tant que sous-chaînes et commence par ce préfixe.
• Longueur SCS : Trouvez simplement la longueur du SCS.

Si nous pouvons résoudre SCS-Length, nous pouvons reconstruire la plus petite solution et obtenir le PCN. Si nous savons que la plus petite solution commence par notre préfixe, nous essayons de l'étendre en ajoutant chaque élément, dans l'ordre lexicographique, et en résolvant à nouveau la longueur. Lorsque nous trouvons le plus petit élément pour lequel la longueur de la solution est la même, nous savons que ce doit être le prochain élément dans la plus petite solution (pourquoi?), Alors ajoutez-le et reprenez les éléments restants. Cette méthode pour atteindre la solution est appelée auto-réduction .

Visite du graphique de chevauchement maximal

Supposons que nous ayons commencé à résoudre SCS pour l'exemple ci-dessus à la main. Nous aurions probablement:

• Débarrassez-vous de 13et 37, car ils sont déjà des sous-chaînes des autres éléments. Toute solution qui contient 137, par exemple, doit également contenir 13et 37.
• Commencer à envisager les combinaisons 113,137 → 1137, 211,113 → 2113etc.

C'est en fait la bonne chose à faire, mais prouvons-le par souci d'exhaustivité. Prenez n'importe quelle solution SCS; par exemple, la chaîne la plus courte pour Aest

2113137

et il peut être décomposé en une concaténation de tous les éléments dans A:

211
 113
   31
    137

(Nous ignorons les éléments redondants 13, 37.) Observez que:

1. Les positions de début et de fin de chaque élément augmentent d'au moins 1.
2. Chaque élément se chevauche dans la mesure du possible avec l'élément précédent.

Nous montrerons que chaque super-chaîne la plus courte peut être décomposée de cette façon:

1. Pour chaque paire d'éléments adjacents x,y, ycommence et se termine à des positions ultérieures à x. Si ce n'est pas vrai, alors c'est soit xune sous-chaîne de you vice versa. Mais nous avons déjà supprimé tous les éléments qui sont des sous-chaînes, ce qui ne peut pas se produire.

2. Supposons que les éléments adjacents de la séquence aient un chevauchement inférieur au maximum, par exemple 21113au lieu de 2113. Mais cela rendrait le 1redondant supplémentaire . Aucun élément ultérieur n'a besoin de l'initiale 1(comme dans 2 1 113), car il se produit plus tôt que 113, et tous les éléments qui apparaissent après 113ne peuvent pas commencer par un chiffre avant 113(voir point 1). Un argument similaire empêche le dernier extra 1(comme dans 211 1 3) d'être utilisé par n'importe quel élément avant 211. Mais notre super chaîne la plus courte , par définition, n'aura pas de chiffres redondants, de sorte que de tels chevauchements non maximaux ne se produiront pas.

Avec ces propriétés, nous pouvons convertir tout problème SCS en TSP:

1. Supprimez tous les éléments qui sont des sous-chaînes d'autres éléments.
2. Créez un graphique dirigé qui a un sommet pour chaque élément.
3. Pour chaque paire d'éléments x, yajoutez un bord de xà ydont le poids est le nombre de symboles supplémentaires ajoutés en ajoutant yà xavec chevauchement maximal. Par exemple, nous ajouterions un bord de 211à 113avec le poids 1, car 2113ajoute un chiffre de plus 211. Répétez l'opération pour le bord de yà x.
4. Ajoutez un sommet pour le préfixe initial et des arêtes de celui-ci à tous les autres éléments.

Tout chemin sur ce graphique, à partir du préfixe initial, correspond à une concaténation à chevauchement maximal de tous les éléments sur ce chemin, et le poids total du chemin est égal à la longueur de chaîne concaténée. Par conséquent, chaque tour de poids le plus bas, qui visite tous les articles au moins une fois, correspond à une super chaîne la plus courte.

Et c'est la réduction de SCS (et SCS-Length) à TSP.

Algorithme de programmation dynamique

Il s'agit d'un algorithme classique, mais nous le modifierons un peu, alors voici un petit rappel.

(J'ai écrit cela comme un algorithme pour SCS-Length au lieu de TSP. Ils sont essentiellement équivalents, mais le vocabulaire SCS aide lorsque nous arrivons aux optimisations spécifiques à SCS.)

Appelez l'ensemble des éléments d'entrée Aet le préfixe donné P. Pour chaque ksous-ensemble Sd'éléments Aet dans chaque élément ede S, nous calculons la longueur de la chaîne la plus courte qui commence par P, contient tout Set se termine par e. Cela implique de stocker une table des valeurs de (S, e)à leurs longueurs SCS.

Lorsque nous arrivons à chaque sous - ensemble S, les besoins de table pour contenir déjà les résultats S - {e}pour tous edans S. Comme le tableau peut devenir assez volumineux, je calcule les résultats pour tous les ksous-ensembles d'éléments, puis k+1, etc. Pour cela, nous devons uniquement stocker les résultats pour ket k+1à tout moment. Cela réduit l'utilisation de la mémoire d'un facteur d'environ sqrt(|A|).

Encore un détail: au lieu de calculer la longueur SCS minimum, je calcule en fait le chevauchement total maximum entre les articles. (Pour obtenir la longueur SCS, il suffit de soustraire le chevauchement total de la somme des longueurs des articles.) L'utilisation de chevauchements permet certaines des optimisations suivantes.

[2.] Contextes d'élément

Un contexte est le suffixe le plus long d'un élément qui peut chevaucher les éléments suivants. Si nos articles le sont 113,211,311, alors 11est le contexte de 211et 311. (C'est aussi le contexte de préfixe pour 113lequel nous allons voir en partie [4.])

Dans l'algorithme DP ci-dessus, nous avons gardé une trace des solutions SCS qui se terminent par chaque élément, mais nous ne nous soucions pas réellement de l'élément dans lequel se termine un SCS. Tout ce que nous devons savoir, c'est le contexte. Ainsi, par exemple, si deux SCS pour le même ensemble se terminent par 23et 43, tout SCS qui continue de l'un fonctionnera également pour l'autre.

Il s'agit d'une optimisation importante, car les nombres premiers non triviaux se terminent uniquement par les chiffres 1 3 7 9. Les quatre contextes à un chiffre 1,3,7,9(plus le contexte vide) sont en fait suffisants pour calculer les PCN pour les nombres premiers jusqu'à 131.

[3.] Éléments sans contexte

D'autres ont déjà souligné que de nombreux nombres premiers commencent par les chiffres 2,4,5,6,8, tels que 23,29,41,43.... Aucun de ceux-ci ne peut chevaucher un nombre premier précédent (à l'exception de 2et 5, les nombres premiers ne peuvent pas se terminer par ces chiffres 2et 5auront déjà été supprimés comme redondants). Dans le code, celles-ci sont appelées chaînes sans contexte .

Si notre entrée contient des éléments sans contexte, chaque solution SCS peut être divisée en blocs

<prefix>... 23... 29... 41... 43...

et les chevauchements dans chaque bloc sont indépendants des autres blocs. Nous pouvons mélanger les blocs ou échanger des éléments entre des blocs qui ont le même contexte, sans changer la longueur du SCS.

Ainsi, nous devons seulement garder une trace des multisets possibles de contextes, un pour chaque bloc.

Exemple complet: pour les nombres premiers inférieurs à 100, nous avons 11 éléments sans contexte et leurs contextes:

23 29 41 43 47 53 59 61 67 83 89
 3  9  1  3  7  3  9  1  7  3  9

Notre contexte multiset initial:

1 1 3 3 3 3 7 7 9 9 9

Le code les appelle des contextes combinés ou ccontextes . Ensuite, il nous suffit de considérer les sous-ensembles des éléments restants:

11 13 17 19 31 37 71 73 79 97

[4.] Fusion de contexte

Une fois que nous arrivons aux nombres premiers à 3 chiffres ou plus, il y a plus de redondances:

 101 151 181 191 ...
 107 127 157 167 197 ...
 109 149 1009 ...

Ces groupes partagent les mêmes contextes de début et de fin (généralement - cela dépend des autres nombres premiers dans l'entrée), donc ils ne peuvent pas être distingués lorsqu'ils se chevauchent avec d'autres éléments. Nous ne nous soucions que des chevauchements, nous pouvons donc traiter les nombres premiers de ces groupes à contexte égal comme indiscernables. Maintenant, nos sous-ensembles DP sont condensés en plusieurs sous-ensembles

4 × 1_1
5 × 1_7
3 × 1_9

(C'est aussi pourquoi le solveur maximise la longueur de chevauchement au lieu de minimiser la longueur SCS: cette optimisation préserve la longueur de chevauchement.)

Résumé: les optimisations de haut niveau

L'exécution avec une INFOsortie de débogage affichera des statistiques comme

solve: N=43, N_search=26, ccontext_size=18, #contexts=7, #eq_context_groups=16

Cette ligne particulière concerne la longueur SCS des 62 premiers nombres premiers 2à 293.

• Après avoir supprimé les éléments redondants, nous nous retrouvons avec 43 nombres premiers qui ne sont pas des sous-chaînes les uns des autres.
• Il existe 7 contextes uniques : 1,3,7,11,13,27plus la chaîne vide.
• 17 des 43 nombres premiers sont hors-contexte : 43,47,53,59,61,89,211,223,227,229,241,251,257,263,269,281,283. Ceux-ci et le préfixe donné (dans ce cas, une chaîne vide) forment la base du contexte combiné initial .
• Dans les 26 autres éléments ( N_search), il existe 16 groupes à contexte égal non triviaux .

En exploitant ces structures, le calcul de la longueur SCS n'a besoin que de vérifier 8498336 (multiset, ccontext)combinaisons. Une programmation dynamique simple prendrait des 43×2^43 > 3×10^14mesures, et le forçage brutal des permutations prendrait des 6×10^52mesures. Le programme doit encore exécuter SCS-Length plusieurs fois pour reconstruire la solution PCN, mais cela ne prend pas beaucoup de temps.

[5., 6.] Les optimisations de bas niveau

Au lieu d'effectuer des opérations de chaîne, le solveur SCS-Length fonctionne avec des indices d'éléments et de contextes. Je précalcule également le montant de chevauchement entre chaque contexte et chaque paire d'articles.

Le code utilisait initialement GCC unordered_map, qui semble être une table de hachage avec des compartiments de liste liés et des tailles de hachage principales (c'est-à-dire des divisions coûteuses). J'ai donc écrit ma propre table de hachage avec une sonde linéaire et des tailles de puissance de deux. Cela permet une accélération de 3 × et une réduction de 3 × de la mémoire.

Chaque état de table se compose d'un ensemble multiple d'éléments, d'un contexte combiné et d'un nombre de chevauchements. Ceux-ci sont regroupés en entrées de 128 bits: 8 pour le nombre de chevauchements, 56 pour le multiset (comme un jeu de bits avec codage de longueur) et 64 pour le ccontext (RLE délimité par 1). Encoder et décoder le ccontext était la partie la plus délicate et j'ai fini par utiliser la nouvelle PDEPinstruction (c'est tellement nouveau, GCC n'a pas encore intrinsèque pour cela).

Enfin, l'accès à une table de hachage est très lent lorsqu'il Ndevient volumineux, car la table ne tient plus dans le cache. Mais la seule raison pour laquelle nous écrivons dans la table de hachage est de mettre à jour le nombre de chevauchements le plus connu pour chaque état. Le programme divise cette étape en une file d'attente de prélecture, et la boucle interne prélecte chaque recherche de table quelques itérations avant de mettre à jour cet emplacement. Une autre accélération 2 × sur mon ordinateur.

Bonus: améliorations supplémentaires

AKA Comment Concorde est-il si rapide?

Je ne connais pas grand-chose aux algorithmes TSP, alors voici une estimation approximative.

Concorde utilise la méthode branch-and-cut pour résoudre les TSP.

• Il code le TSP comme un programme linéaire entier
• Il utilise des méthodes de programmation linéaire, ainsi que des heuristiques initiales, pour obtenir des limites inférieures et supérieures sur la distance optimale du tour
• Ces bornes sont ensuite introduites dans une branche et un algorithme récursif lié qui recherche la solution optimale. De grandes parties de l'arbre de recherche peuvent être élaguées si la limite inférieure calculée pour un sous-arbre dépasse une limite supérieure connue
• Il recherche également des plans de coupe pour resserrer la relaxation LP et obtenir de meilleures limites. En règle générale, ces coupes codent la connaissance du fait que les variables de décision doivent être des entiers

Des idées évidentes que nous pourrions essayer:

• Élagage dans le solveur SCS-Length, en particulier lors de la reconstruction de la solution PCN (à ce stade, nous savons déjà quelle est la longueur de la solution)
• Dérivation de limites inférieures faciles à calculer pour SCS, qui peuvent être utilisées pour aider à l'élagage
• Trouver plus de symétries ou de redondances dans la distribution des nombres premiers à exploiter

Cependant, la combinaison branch-and-cut est très puissante, donc nous pourrions ne pas être en mesure de battre un solveur de pointe comme Concorde, pour les grandes valeurs de N.

Bonus bonus: les nombres premiers de confinement

Contrairement à la solution basée sur le Concorde, ce programme peut être modifié pour trouver les contenant plus petits nombres premiers ( OEIS A054260 ). Cela implique trois changements:

1. $1/\ln(n)$

2. Modifiez le code du solveur SCS-Length pour catégoriser les solutions selon que leurs chiffres sont divisibles par 3. Cela implique d'ajouter une autre entrée, la somme des chiffres mod 3, à chaque état DP. Cela réduit considérablement les chances que le solveur principal reste bloqué avec des permutations non principales. C'est le changement que je n'ai pas pu trouver comment traduire en TSP. Il peut être encodé avec ILP, mais je devrais alors en apprendre davantage sur cette chose appelée «inégalité de sous-circuit» et comment les générer.

3. Il se peut que tous les PCN les plus courts soient divisibles par 3. Dans ce cas, le plus petit nombre premier de confinement premier doit être au moins un chiffre plus long que le PCN. Si notre solveur SCS-Length le détecte, le code de reconstruction de la solution a la possibilité d'ajouter un chiffre supplémentaire à tout moment du processus. Il essaie d'ajouter chaque chiffre possible 0..9et chaque élément restant au préfixe de solution actuel, dans l'ordre lexicographique comme précédemment.

Avec ces changements, je peux obtenir les solutions jusqu'à N=62. Sauf pour 47, où le code de reconstruction est bloqué et abandonne après 1 million de pas (je ne sais pas encore pourquoi). Les nombres premiers de confinement principaux sont:

1 2
2 23
3 523
4 2357
5 112573
6 511327
7 1135217
8 1113251719
9 11171323519
10 113171952923
11 113171952923
12 11131951723729
13 11317237419529
14 1131723294375419
15 113172329541947437
16 1131723294195343747
17 1113172329419434753759
18 11231329417437475361959
19 231132941743475375967619
20 2311294134347175967619537
21 23112941343471735967619537
22 231129413434717359537679619
23 23112941343471735375961983679
24 11231294134347173535961967983789
25 23112941343471735359679837619789
26 2310112941343471735359619783789679
27 231010329411343471735359619678379897
28 101031071132329417343475359619798376789
29 101031071091132329417343475359619767898379
30 101031071091132329417343475359619767898379
31 1010310710911131272329417343475359619678979837
32 1010310710911131272329417343475359619678979837
33 10103107109113127137232941734347535978961967983
34 10103107109113127137139232941734347535961967838979
35 10103107109113127137139149232941734347535961976798389
36 1010310710911312713713914923294151734347535976198389679
37 1010310710911312713713914915157232941734347535967619798389
38 10103107109111312713713914915157163232941734347535967897961983
39 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475961979838953
41 10103107109111312713713914915157163167173232941794347535976198983
42 1010310710911131271371391491515716316717323294179434761819535989783
43 1010310710911131271371391491515716316723294173434753596181917989783
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753836181919389597
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347538961975983
46 101031071091113127137139149151571631671731791819193232941974347535989836199
47 (failed)
48 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232941974347895359836199
49 10103107109112713137149151571631671731791819193211392232272941974347619983535989
50 10103107109127131371491515716316717317918191932113922322722941974347595389836199
51 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722941974347595389619983
52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347538361995989
53 10103107109112713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347619983538959
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347619953835989
55 1010310710911271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974325747596199538983
56 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572634347619959895383
57 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
58 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972572632694359538983619947
59 1010310710912713137149151571631671731792113922332277229239241819193251972572632694347535983896199
60 1010310710911271313714915157163167173211392233227722923924179251819193257263269281974347535961998389
61 1010310710912713137149151571631671732113922332277229239241792518191932572632692819728343538947619959
62 10103107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343534759896199

Code

Compiler avec

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn.cpp -o pcn

Pour la version en nombre premier, liez également avec GMPlib, par exemple

g++ -std=c++14 -O3 -march=native pcn-prime.cpp -o pcn-prime -lgmp -lgmpxx

Ce programme utilise l'instruction PDEP, qui n'est disponible que sur les processeurs x86 récents (Haswell +). Mon ordinateur et maxb le supportent. Si ce n'est pas le cas, le programme se compilera dans une version logicielle lente. Un avertissement de compilation sera imprimé lorsque cela se produira.

#include <cassert>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <array>

using namespace std;

void debug_dummy(...) {
}

#ifndef INFO
//#  define INFO(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define INFO debug_dummy
#endif

#ifndef DEBUG
//#    define DEBUG(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#  define DEBUG debug_dummy
#endif

bool is_prime(size_t n)
{
    for (size_t d = 2; d * d <= n; ++d) {
        if (n % d == 0) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

// bitset, works for up to 64 strings
using bitset_t = uint64_t;
const size_t bitset_bits = 64;

// Find position of n-th set bit of x
uint64_t bit_select(uint64_t x, size_t n) {
#ifdef __BMI2__
    // Bug: GCC doesn't seem to provide the _pdep_u64 intrinsic,
    // despite what its manual claims. Neither does Clang!
    //size_t r = _pdep_u64(ccontext_t(1) << new_context, ccontext1);
    size_t r;
    // NB: actual operand order is %2, %1 despite the intrinsic taking %1, %2
    asm ("pdep %2, %1, %0"
         : "=r" (r)
         : "r" (uint64_t(1) << n), "r" (x)
         );
    return __builtin_ctzll(r);
#else
#  warning "bit_select: no x86 BMI2 instruction set, falling back to slow code"
    size_t k = 0, m = 0;
    for (; m < 64; ++m) {
        if (x & (uint64_t(1) << m)) {
            if (k == n) {
                break;
            }
            ++k;
        }
    }
    return m;
#endif
}

#ifndef likely
#  define likely(x) __builtin_expect(x, 1)
#endif
#ifndef unlikely
#  define unlikely(x) __builtin_expect(x, 0)
#endif

// Return the shortest string that begins with a and ends with b
string join_strings(string a, string b) {
    for (size_t overlap = min(a.size(), b.size()); overlap > 0; --overlap) {
        if (a.substr(a.size() - overlap) == b.substr(0, overlap)) {
            return a + b.substr(overlap);
        }
    }
    return a + b;
}

vector <string> dedup_items(string context0, vector <string> items)
{
    vector <string> items2;
    for (size_t i = 0; i < items.size(); ++i) {
        bool dup = false;
        if (context0.find(items[i]) != string::npos) {
                dup = true;
        } else {
            for (size_t j = 0; j < items.size(); ++j) {
                if (items[i] == items[j]?
                    i > j
                        : items[j].find(items[i]) != string::npos) {
                    dup = true;
                    break;
                }
            }
        }
        if (!dup) {
            items2.push_back(items[i]);
        }
    }
    return items2;
}

// Table entry used in main solver
const size_t solver_max_item_set = bitset_bits - 8;
struct Solver_entry
{
    uint8_t score : 8;
    bitset_t items : solver_max_item_set;
    bitset_t context;

    Solver_entry()
    {
        score = 0xff;
        items = 0;
        context = 0;
    }
    bool is_empty() const {
        return score == 0xff;
    }
};

// Simple hash table to avoid stdlib overhead
struct Solver_table
{
    vector <Solver_entry> t;
    size_t t_bits;
    size_t size_;
    size_t num_probes_;

    Solver_table()
    {
        // 256 slots initially -- this needs to be not too small
        // so that the load factor formula in update_score works
        t_bits = 8;
        size_ = 0;
        num_probes_ = 0;
        resize(t_bits);
    }
    static size_t entry_hash(bitset_t items, bitset_t context)
    {
        uint64_t h = 0x3141592627182818ULL;
        // Add context first, since its bits are generally
        // less well distributed than items
        h += context;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        h += items;
        h ^= h >> 23;
        h *= 0x2127599bf4325c37ULL;
        h ^= h >> 47;
        return h;
    }
    size_t probe_index(size_t hash) const {
        return hash & ((size_t(1) << t_bits) - 1);
    }
    void resize(size_t t2_bits)
    {
        assert (size_ < size_t(1) << t2_bits);
        vector <Solver_entry> t2(size_t(1) << t2_bits);
        for (auto entry: t) {
            if (!entry.is_empty()) {
                size_t h = entry_hash(entry.items, entry.context);
                size_t mask = (size_t(1) << t2_bits) - 1;
                size_t idx = h & mask;
                while (!t2[idx].is_empty()) {
                    idx = (idx + 1) & mask;
                    ++num_probes_;
                }
                t2[idx] = entry;
            }
        }
        t.swap(t2);
        t_bits = t2_bits;
    }
    uint8_t update_score(bitset_t items, bitset_t context, uint8_t score)
    {
        // Ensure we can insert a new item without resizing
        assert (size_ < t.size());

        size_t index = probe_index(entry_hash(items, context));
        size_t mask = (size_t(1) << t_bits) - 1;
        for (size_t p = 0; p < t.size(); ++p, index = (index + 1) & mask) {
            ++num_probes_;
            if (likely(t[index].items == items && t[index].context == context)) {
                t[index].score = max(t[index].score, score);
                return t[index].score;
            }
            if (t[index].is_empty()) {
                // add entry
                t[index].score = score;
                t[index].items = items;
                t[index].context = context;
                ++size_;
                // load factor 4/5 -- ideally 2-3 average probes per lookup
                if (5*size_ > 4*t.size()) {
                    resize(t_bits + 1);
                }
                return score;
            }
        }
        assert (false && "bug: hash table probe loop");
    }
    size_t size() const {
        return size_;
    }
    void swap(Solver_table table)
    {
        t.swap(table.t);
        ::swap(size_, table.size_);
        ::swap(t_bits, table.t_bits);
        ::swap(num_probes_, table.num_probes_);
    }
};

/*
 * Main solver code.
 */
struct Solver
{
    // Inputs
    vector <string> items;
    string context0;
    size_t context0_index;

    // Mapping between strings and indices
    vector <string> context_to_string;
    unordered_map <string, size_t> string_to_context;

    // Items that have context-free prefixes, i.e. prefixes that
    // never overlap with the end of other items nor context0
    vector <bool> contextfree;

    // Precomputed contexts (suffixes) for each item
    vector <size_t> item_context;
    // Precomputed updates: (context, string) to overlap amount
    vector <vector <size_t>> join_overlap;

    Solver(vector <string> items, string context0)
        :items(items), context0(context0)
    {
        items = dedup_items(context0, items);
        init_context_();
    }

    void init_context_()
    {
        /*
         * Generate all relevant item-item contexts.
         *
         * At this point, we know that no item is a substring of
         * another, nor of context0. This means that the only contexts
         * we need to care about, are those generated from maximal join
         * overlaps between any two items.
         *
         * Proof:
         * Suppose that the shortest containing string needs some other
         * kind of context. Maybe it depends on a context spanning
         * three or more items, say X,Y,Z. But if Z ends after Y and
         * interacts with X, then Y must be a substring of Z.
         * This cannot happen, because we removed all substrings.
         *
         * Alternatively, it depends on a non-maximal join overlap
         * between two strings, say X,Y. But if this overlap does not
         * interact with any other string, then we could maximise it
         * and get a shorter solution. If it does, then call this
         * other string Z. We would get the same contradiction as in
         * the previous case with X,Y,Z.
         */
        size_t N = items.size();
        vector <size_t> max_prefix_overlap(N), max_suffix_overlap(N);
        size_t context0_suffix_overlap = 0;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            for (size_t j = 0; j < N; ++j) {
                if (i == j) continue;
                string joined = join_strings(items[j], items[i]);
                size_t overlap = items[j].size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                max_suffix_overlap[j] = max(max_suffix_overlap[j], overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }

            // Context for initial join with context0
            {
                string joined = join_strings(context0, items[i]);
                size_t overlap = context0.size() + items[i].size() - joined.size();
                string context = items[i].substr(0, overlap);
                max_prefix_overlap[i] = max(max_prefix_overlap[i], overlap);
                context0_suffix_overlap = max(context0_suffix_overlap, overlap);

                if (string_to_context.find(context) == string_to_context.end()) {
                    string_to_context[context] = context_to_string.size();
                    context_to_string.push_back(context);
                }
            }
        }
        // Now compute all canonical trailing contexts
        context0_index = string_to_context[
                           context0.substr(context0.size() - context0_suffix_overlap)];
        item_context.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            item_context[i] = string_to_context[
                                items[i].substr(items[i].size() - max_suffix_overlap[i])];
        }

        // Now detect context-free items
        contextfree.resize(N);
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            contextfree[i] = (max_prefix_overlap[i] == 0);
            if (contextfree[i]) {
                DEBUG("  contextfree: %s\n", items[i].c_str());
            }
        }

        // Now compute all possible overlap amounts
        join_overlap.resize(context_to_string.size(), vector <size_t> (N));
        for (size_t c_index = 0; c_index < context_to_string.size(); ++c_index) {
            const string& context = context_to_string[c_index];
            for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
                string joined = join_strings(context, items[i]);
                size_t overlap = context.size() + items[i].size() - joined.size();
                join_overlap[c_index][i] = overlap;
            }
        }
    }

    // Main solver.
    // Returns length of shortest string containing all items starting
    // from context0 (context0's length not included).
    size_t solve() const
    {
        size_t N = items.size();

        // Length, if joined without overlaps. We try to improve this by
        // finding overlaps in the main iteration
        size_t base_length = 0;
        for (auto s: items) {
            base_length += s.size();
        }

        // Now take non-context-free items. We will only need to search
        // over these items.
        vector <size_t> search_items;
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (!contextfree[i]) {
                search_items.push_back(i);
            }
        }
        size_t N_search = search_items.size();

        /*
         * Some groups of strings have the same context transitions.
         * For example "17", "107", "127", "167" all have an initial
         * context of "1" and a trailing context of "7", no other
         * overlaps are possible with other primes.
         *
         * We group these strings and treat them as indistinguishable
         * during the main algorithm.
         */
        auto eq_context = [&](size_t i, size_t j) {
            if (item_context[i] != item_context[j]) {
                return false;
            }
            for (size_t ci = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci) {
                if (join_overlap[ci][i] != join_overlap[ci][j]) {
                    return false;
                }
            }
            return true;
        };
        vector <size_t> eq_context_group(N_search, size_t(-1));
        for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
            for (size_t sj = si-1; sj+1 > 0; --sj) {
                size_t i = search_items[si], j = search_items[sj];
                if (!contextfree[j] && eq_context(i, j)) {
                    DEBUG("  eq context: %s =c= %s\n", items[i].c_str(), items[j].c_str());
                    eq_context_group[si] = sj;
                    break;
                }
            }
        }

        // Figure out the combined context size. A combined context has
        // one entry for each context-free item plus one for context0.
        size_t ccontext_size = N - N_search + 1;

        // Assert that various parameters all fit into our data types
        using ccontext_t = bitset_t;
        assert (context_to_string.size() + ccontext_size <= bitset_bits);
        assert (N_search <= solver_max_item_set);
        assert (base_length < 0xff);

        // Initial combined context.
        unordered_map <size_t, size_t> cc0_full;
        ++cc0_full[context0_index];
        for (size_t i = 0; i < N; ++i) {
            if (contextfree[i]) {
                ++cc0_full[item_context[i]];
            }
        }
        // Now pack into unary-encoded bitset. The bitset stores the
        // count for each context as <count> number of 0 bits,
        // followed by a 1 bit.
        ccontext_t cc0 = 0;
        for (size_t ci = 0, b = 0; ci < context_to_string.size(); ++ci, ++b) {
            b += cc0_full[ci];
            cc0 |= ccontext_t(1) << b;
        }

        // Map from (item set, context) to maximum achievable overlap
        Solver_table k_solns;
        // Base case: cc0 with empty set
        k_solns.update_score(0, cc0, 0);

        // Now start dynamic programming. k is current subset size
        size_t eq_context_groups = 0;
        for (size_t g: eq_context_group) eq_context_groups += (g != size_t(-1));
        if (context0.empty()) {
            INFO("solve: N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                 N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        } else {
            DEBUG("solve: context=%s, N=%zu, N_search=%zu, ccontext_size=%zu, #contexts=%zu, #eq_context_groups=%zu\n",
                  context0.c_str(), N, N_search, ccontext_size, context_to_string.size(), eq_context_groups);
        }
        for (size_t k = 0; k < N_search; ++k) {
            decltype(k_solns) k1_solns;

            // The main bottleneck of this program is updating k1_solns,
            // which (for larger N) becomes a huge table.
            // We use a prefetch queue to reduce memory latency.
            const size_t prefetch = 8;
            array <Solver_entry, prefetch> entry_queue;
            size_t update_i = 0;

            // Iterate every k-subset
            for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
                if (entry.is_empty()) continue;

                bitset_t s = entry.items;
                ccontext_t ccontext = entry.context;
                size_t overlap = entry.score;

                // Try adding a new item
                for (size_t si = 0; si < N_search; ++si) {
                    bitset_t s1 = s | bitset_t(1) << si;
                    if (s == s1) {
                        continue;
                    }
                    // Add items in each eq_context_group sequentially
                    if (eq_context_group[si] != size_t(-1) &&
                        !(s & bitset_t(1) << eq_context_group[si])) {
                        continue;
                    }
                    size_t i = search_items[si]; // actual item index

                    size_t new_context = item_context[i];
                    // Increment ccontext's count for new_context.
                    // We need to find its delimiter 1 bit
                    size_t bit_n = bit_select(ccontext, new_context);
                    ccontext_t ccontext_n =
                        ((ccontext & ((ccontext_t(1) << bit_n) - 1))
                         | ((ccontext >> bit_n << (bit_n + 1))));

                    // Select non-empty sub-contexts to substitute for new_context
                    for (size_t ci = 0, bit1 = 0, count;
                         ci < context_to_string.size();
                         ++ci, bit1 += count + 1)
                    {
                        assert (ccontext_n >> bit1);
                        count = __builtin_ctzll(ccontext_n >> bit1);
                        if (!count
                            // We just added new_context; we can only remove an existing
                            // context entry there i.e. there must be at least two now
                            || (ci == new_context && count < 2)) {
                            continue;
                        }

                        // Decrement ci in ccontext_n
                        bitset_t ccontext1 =
                            ((ccontext_n & ((ccontext_t(1) << bit1) - 1))
                             | ((ccontext_n >> (bit1 + 1)) << bit1));

                        size_t overlap1 = overlap + join_overlap[ci][i];

                        // do previous prefetched update
                        if (update_i >= prefetch) {
                            Solver_entry entry = entry_queue[update_i % prefetch];
                            k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
                        }

                        // queue the current update and prefetch
                        Solver_entry entry1;
                        size_t probe_index = k1_solns.probe_index(Solver_table::entry_hash(s1, ccontext1));
                        __builtin_prefetch(&k1_solns.t[probe_index]);
                        entry1.items = s1;
                        entry1.context = ccontext1;
                        entry1.score = overlap1;
                        entry_queue[update_i % prefetch] = entry1;

                        ++update_i;
                    }
                }
            }

            // do remaining queued updates
            for (size_t j = 0; j < min(update_i, prefetch); ++j) {
                Solver_entry entry = entry_queue[j];
                k1_solns.update_score(entry.items, entry.context, entry.score);
            }

            if (context0.empty()) {
                INFO("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                     k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            } else {
                DEBUG("  hash stats: |solns[%zu]| = %zu, %zu lookups, %zu probes\n",
                      k+1, k1_solns.size(), update_i, k1_solns.num_probes_);
            }
            k_solns.swap(k1_solns);
        }

        // Overall solution
        size_t max_overlap = 0;
        for (Solver_entry entry: k_solns.t) {
            if (entry.is_empty()) continue;
            max_overlap = max(max_overlap, size_t(entry.score));
        }
        return base_length - max_overlap;
    }
};

// Wrapper for Solver that also finds the smallest solution string
string smallest_containing_string(vector <string> items)
{
    items = dedup_items("", items);

    size_t soln_length;
    {
        Solver solver(items, "");
        soln_length = solver.solve();
    }
    DEBUG("Found solution length: %zu\n", soln_length);

    string soln;
    vector <string> remaining_items = items;
    while (remaining_items.size() > 1) {
        // Add all possible next items, in lexicographic order
        vector <pair <string, size_t>> next_solns;
        for (size_t i = 0; i < remaining_items.size(); ++i) {
            const string& item = remaining_items[i];
            next_solns.push_back(make_pair(join_strings(soln, item), i));
        }
        assert (next_solns.size() == remaining_items.size());
        sort(next_solns.begin(), next_solns.end());

        // Now try every item in order
        bool found_next = false;
        for (auto ns: next_solns) {
            size_t i;
            string next_soln;
            tie(next_soln, i) = ns;
            DEBUG("Trying: %s + %s -> %s\n",
                  soln.c_str(), remaining_items[i].c_str(), next_soln.c_str());
            vector <string> next_remaining;
            for (size_t j = 0; j < remaining_items.size(); ++j) {
                if (next_soln.find(remaining_items[j]) == string::npos) {
                    next_remaining.push_back(remaining_items[j]);
                }
            }

            Solver solver(next_remaining, next_soln);
            size_t next_size = solver.solve();
            DEBUG("  ... next_size: %zu + %zu =?= %zu\n", next_size, next_soln.size(), soln_length);
            if (next_size + next_soln.size() == soln_length) {
                INFO("  found next item: %s\n", remaining_items[i].c_str());
                soln = next_soln;
                remaining_items = next_remaining;
                // found lexicographically smallest solution, break now
                found_next = true;
                break;
            }
        }
        assert (found_next);
    }
    soln = join_strings(soln, remaining_items[0]);

    return soln;
}

int main()
{
    string prev_soln;
    vector <string> items;
    size_t p = 1;
    for (size_t N = 1;; ++N) {
        for (++p; items.size() < N; ++p) {
            if (is_prime(p)) {
                char buf[99];
                snprintf(buf, sizeof buf, "%zu", p);
                items.push_back(buf);
                break;
            }
        }

        // Try to reuse previous solution (this works for N=11,30,32...)
        string soln;
        if (prev_soln.find(items.back()) != string::npos) {
            soln = prev_soln;
        } else {
            soln = smallest_containing_string(items);
        }
        printf("%s\n", soln.c_str());
        prev_soln = soln;
    }
}

Essayez-le en ligne!

Et la version exclusive sur TIO . Désolé, mais je n'ai pas joué à ces programmes et il y a une limite de longueur de message.

JavaScript (Node.js) , marque 24 en 241 secondes

Résultats

• $a(1)$ à$a(21)$
• $a(22)=231129413434717353759619679$
• $a(23)=23112941343471735359619678379$
• $a(1)$ à$a(24)$

Algorithme

Il s'agit d'une recherche récursive qui essaie toutes les manières possibles de fusionner des nombres et finalement trie les listes résultantes dans l'ordre lexicographique lorsqu'un nœud feuille est atteint.

$x$$y$$k$$x$$k$$y$$k$$y$$k$$x$

Au début de chaque itération, toute entrée qui peut être trouvée dans une autre entrée est supprimée de la liste.

Une accélération significative a été obtenue en gardant une trace des nœuds visités, afin que nous puissions abandonner tôt lorsque différentes opérations conduisent à la même liste.

Une petite accélération a été obtenue en mettant à jour et en restaurant la liste lorsque cela était possible plutôt qu'en générant une copie, comme suggéré par un utilisateur anonyme Neil.

Exemple

$n=7$$[2,3,5,7,11,13,17]$

[]                        // start with an empty list
[ 2 ]                     // append 2
[ 2, 3 ]                  // append 3
[ 2, 3, 5 ]               // append 5
[ 2, 3, 5, 7 ]            // append 7
[ 2, 3, 5, 7, 11 ]        // append 11
[ 2, 3, 5, 7, 11, 13 ]    // append 13
[ 2, 5, 7, 11, 13 ]       // remove 3, which appears in 13
  [ 2, 5, 7, 113, 13 ]    //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 7, 113 ]        //   remove 13, which now appears in 113
  [ 2, 5, 7, 113, 17 ]    //   append 17
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 7, which appears in 17
  --> leaf node: 1131725  //   new best result
[ 2, 5, 7, 11, 13, 17 ]   // append 17
[ 2, 5, 11, 13, 17 ]      // remove 7, which appears in 17
  [ 2, 5, 113, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 13 into 113
  [ 2, 5, 113, 17 ]       //   remove 13, which now appears in 113
                          //   abort because this node was already visited
                          //   (it was a leaf node anyway, so we don't save much here)
  [ 2, 5, 117, 13, 17 ]   //   try to merge 11 and 17 into 117
  [ 2, 5, 117, 13 ]       //   remove 17, which now appears in 117
  --> leaf node: 1171325  //   not better than the previous one
--> leaf node: 11131725   // not better than the previous one

Code

Essayez-le en ligne!

let f = n => {
  let visited = {},
      a, d, k, best, search;

  // build the list of primes, as strings
  for(a = [ '2' ], n--, k = 3; n; k++) {
    for(d = k; k % (d -= 2);) {}
    d == 1 && n-- && a.push(k + '');
  }

  best = a.join('');

  // recursive search function
  (search = (a, n = 0, r = []) => {
    let x, y, i, j, k, s;

    // remove all entries in r[] that can be found in another entry
    r = r.filter((p, i) => !r.some((q, j) => i != j && ~q.indexOf(p)));

    // abort early if this node was already visited
    if(visited[r]) {
      return;
    }

    // otherwise, mark it as visited
    visited[r] = 1;

    // walk through all distinct pairs (x, y) in r[]
    for(i = 0; i < r.length; i++) {
      for(j = i + 1; j < r.length; j++) {
        x = r[i];
        y = r[j];

        // try to merge x and y if:
        // 1) the first k digits of x equal the last k digits of y
        for(k = 1; x.slice(0, k) == y.slice(-k); k++) {
          r[i] = y + x.slice(k);
          search(a, n, r);
        }

        // or:
        // 2) the first k digits of y equal the last k digits of x
        for(k = 1; y.slice(0, k) == x.slice(-k); k++) {
          r[i] = x + y.slice(k);
          search(a, n, r);
        }
        r[i] = x;
      }
    }

    if(x = a[n]) {
      // there are other primes to process, so go on with the next one
      search(a, n + 1, [...r, x]);
    }
    else {
      // this is a leaf node: see if we've improved our current score
      s = r.join('');

      if(s.length <= best.length) {
        s = r.sort().join('');

        if(s.length < best.length || s < best) {
          best = s;
        }
      }
    }
  })(a);

  return best;
}

Solveur Concorde TSP , marque 84 en 299 secondes

Eh bien… je me sens stupide de ne l'avoir réalisé que maintenant.

Tout cela est essentiellement un problème de vendeur ambulant . Pour chaque paire de nombres premiers pet q, ajoutez un bord dont le poids est le nombre de chiffres ajoutés par q(en supprimant les chiffres qui se chevauchent). En outre, ajoutez un bord initial à chaque nombre premier p, dont le poids est la longueur dep . Le chemin de vendeur itinérant le plus court correspond à la longueur du plus petit nombre de confinement principal.

Ensuite, un solveur TSP de qualité industrielle, tel que Concorde , résoudra rapidement ce problème.

Cette entrée devrait probablement être considérée comme non concurrente.

Résultats

Le solveur arrive à N=350environ 20 heures CPU. Les résultats complets sont trop longs pour un poste SE, et l'OEIS ne veut pas autant de termes de toute façon. Voici les 200 premiers:

1 2
2 23
3 235
4 2357
5 112357
6 113257
7 1131725
8 113171925
9 1131719235
10 113171923295
11 113171923295
12 1131719237295
13 11317237294195
14 1131723294194375
15 113172329419437475
16 1131723294194347537
17 113172329419434753759
18 2311329417434753759619
19 231132941743475375961967
20 2311294134347175375961967
21 23112941343471735375961967
22 231129413434717353759619679
23 23112941343471735359619678379
24 2311294134347173535961967837989
25 23112941343471735359619678378979
26 2310112941343471735359619678378979
27 231010329411343471735359619678378979
28 101031071132329417343475359619678378979
29 101031071091132329417343475359619678378979
30 101031071091132329417343475359619678378979
31 101031071091131272329417343475359619678378979
32 101031071091131272329417343475359619678378979
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36 1010310710911312713713914923294151734347535961967838979
37 1010310710911312713713914915157232941734347535961967838979
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39 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
40 10103107109113127137139149151571631672329417343475359619798389
41 1010310710911312713713914915157163167173232941794347535961978389
42 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181978389
43 101031071091131271371391491515716316723294173434753596181917978389
44 101031071091131271371391491515716316717323294179434753596181919383897
45 10103107109113127137139149151571631671731792329418191934347535961978389
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49 1010310710912713137149151571631671731791819193211392232272941974347535961998389
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52 101031071091271313714915157163167173179181919321139223322722923941974347535961998389
53 1010310710912713137149151571631671731791819193211392233227229239241974347535961998389
54 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251974347535961998389
55 101031071091271313714915157163167173179211392233227229239241819193251972574347535961998389
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63 1010307107109127131371491515716316717321139223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
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65 10103071071091271311371491515716313916721173223322772293239241792518191932572632692819728343475359619989
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Code

Voici un script Python 3 pour appeler le solveur Concorde encore et encore jusqu'à ce qu'il construise les solutions.

Concorde est gratuit pour un usage académique. Vous pouvez télécharger un binaire exécutable de Concorde construit avec leur propre package de programmation linéaire QSopt, ou si vous avez en quelque sorte une licence pour IBM CPLEX, vous pouvez construire Concorde à partir de la source pour utiliser CPLEX.

#!/usr/bin/env python3
'''
Find prime containment numbers (OEIS A054261) using the Concorde
TSP solver.

The n-th prime containment number is the smallest natural number
which, when written in decimal, contains the first n primes.
'''

import argparse
import itertools
import os
import sys
import subprocess
import tempfile

def join_strings(a, b):
  '''Shortest string that starts with a and ends with b.'''
  for overlap in range(min(len(a), len(b)), 0, - 1):
    if a[-overlap:] == b[:overlap]:
      return a + b[overlap:]
  return a + b

def is_prime(n):
  if n < 2:
    return False
  d = 2
  while d*d <= n:
    if n % d == 0:
      return False
    d += 1
  return True

def prime_list_reduced(n):
  '''First n primes, with primes that are substrings of other
     primes removed.'''
  primes = []
  p = 2
  while len(primes) < n:
    if is_prime(p):
      primes.append(p)
    p += 1

  reduced = []
  for p in primes:
    if all(p == q or str(p) not in str(q) for q in primes):
      reduced.append(p)
  return reduced

# w_med is an offset for actual weights
# (we use zero as a dummy weight when splitting nodes)
w_med = 10**4
# w_big blocks edges from being taken
w_big = 10**8

def gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates):
  '''Generate TSP formulation in TSPLIB format.

     Returns a TSPLIB format string that encodes the length of the
     shortest string starting with 'prefix' and containing all 'strs'.

     start_candidates is the set of strings that solution paths are
     allowed to start with.
     '''
  N = len(strs)

  # Concorde only supports symmetric TSPs. Therefore we encode the
  # asymmetric TSP instances by doubling each node.
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  # 2*(N+1) nodes because we add an artificial node with index N
  # for the start/end of the tour. This node is also doubled.
  num_nodes = 2*(N+1)

  # Ensure special offsets are big enough
  assert w_med > len(prefix) + sum(map(len, strs))
  assert w_big > w_med * num_nodes

  weight = [[w_big] * num_nodes for _ in range(num_nodes)]
  def edge(src, dest, w):
    weight[node_out(src)][node_in(dest)] = w
    weight[node_in(dest)][node_out(src)] = w

  # link every incoming node with the matching outgoing node
  for i in range(N+1):
    weight[node_in(i)][node_out(i)] = 0
    weight[node_out(i)][node_in(i)] = 0

  for i, p in enumerate(strs):
    if p in start_candidates:
      prefix_w = len(join_strings(prefix, p))
      # Initial length
      edge(N, i, w_med + prefix_w)
    else:
      edge(N, i, w_big)
    # Link every str to the end to allow closed tours
    edge(i, N, w_med)

  for i, p in enumerate(strs):
    for j, q in enumerate(strs):
      if i != j:
        w = len(join_strings(p, q)) - len(p)
        edge(i, j, w_med + w)

  out = '''NAME: prime-containment-number
TYPE: TSP
DIMENSION: %d
EDGE_WEIGHT_TYPE: EXPLICIT
EDGE_WEIGHT_FORMAT: FULL_MATRIX
EDGE_WEIGHT_SECTION
''' % num_nodes

  out += '\n'.join(
    ' '.join(str(w) for w in row)
    for row in weight
  ) + '\n'

  out += 'EOF\n'
  return out

def parse_tour_soln(prefix, strs, text):
  '''This constructs the solution from Concorde's 'tour' output format.
     The format simply consists of a permutation of the graph nodes.'''
  N = len(strs)
  node_in = lambda i: 2*i
  node_out = lambda i: node_in(i) + 1
  nums = list(map(int, text.split()))

  # The file starts with the number of nodes
  assert nums[0] == 2*(N+1)
  nums = nums[1:]

  # Then it should list a permutation of all nodes
  assert len(nums) == 2*(N+1)

  # Find and remove the artificial starting point
  start = nums.index(node_out(N))
  nums = nums[start+1:] + nums[:start]
  # Also find and remove the end point
  if nums[-1] == node_in(N):
    nums = nums[:-1]
  elif nums[0] == node_in(N):
    # Tour printed in reverse order
    nums = reversed(nums[1:])
  else:
    assert False, 'bad TSP tour'
  soln = prefix
  for i in nums:
    # each prime appears in two adjacent nodes, pick one arbitrarily
    if i % 2 == 0:
      soln = join_strings(soln, strs[i // 2])
  return soln

def scs_length(prefix, strs, start_candidates, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find length of shortest containing string using one call to Concorde.'''
  # Concorde's small-input solver CCHeldKarp, tends to fail with the
  # cryptic error message 'edge too long'. Brute force instead
  if len(strs) <= 5:
    best = len(prefix) + sum(map(len, strs))
    for perm in itertools.permutations(range(len(strs))):
      if perm and strs[perm[0]] not in start_candidates:
        continue
      soln = prefix
      for i in perm:
        soln = join_strings(soln, strs[i])
      best = min(best, len(soln))
    return best

  with tempfile.TemporaryDirectory() as tempdir:
    concorde_path = os.path.join(os.getcwd(), concorde_path)
    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib'), 'w') as f:
      f.write(gen_tsplib(prefix, strs, start_candidates))

    if concorde_verbose:
      subprocess.check_call([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                            cwd=tempdir)
    else:
      try:
        subprocess.check_output([concorde_path, os.path.join(tempdir, 'prime.tsplib')],
                                cwd=tempdir, stderr=subprocess.STDOUT)
      except subprocess.CalledProcessError as e:
        print('Concorde exited with error code %d\nOutput log:\n%s' %
              (e.returncode, e.stdout.decode('utf-8', errors='ignore')),
              file=sys.stderr)
        raise

    with open(os.path.join(tempdir, 'prime.sol'), 'r') as f:
      soln = parse_tour_soln(prefix, strs, f.read())
    return len(soln)

# Cache results from previous N's
pcn_solve_cache = {} # (prefix fragment, strs) -> soln

def pcn(n, concorde_path, concorde_verbose):
  '''Find smallest prime containment number for first n primes.'''
  strs = list(map(str, prime_list_reduced(n)))
  target_length = scs_length('', strs, strs, concorde_path, concorde_verbose)

  def solve(prefix, strs, target_length):
    if not strs:
      return prefix

    # Extract part of prefix that is relevant to cache
    prefix_fragment = ''
    for s in strs:
      next_prefix = join_strings(prefix, s)
      overlap = len(prefix) + len(s) - len(next_prefix)
      fragment = prefix[len(prefix) - overlap:]
      if len(fragment) > len(prefix_fragment):
        prefix_fragment = fragment
    fixed_prefix = prefix[:len(prefix) - len(prefix_fragment)]
    assert fixed_prefix + prefix_fragment == prefix

    cache_key = (prefix_fragment, tuple(strs))
    if cache_key in pcn_solve_cache:
      return fixed_prefix + pcn_solve_cache[cache_key]

    # Not in cache, we need to calculate it.
    soln = None

    # Try strings in ascending order until scs_length reports a
    # solution with equal length. That string will be the
    # lexicographically smallest extension of our solution.
    next_prefixes = sorted((join_strings(prefix, s), s)
                           for s in strs)

    # Try first string -- often works
    next_prefix, _ = next_prefixes[0]
    next_prefixes = next_prefixes[1:]
    next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
    next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
                             concorde_path, concorde_verbose)
    if next_length == target_length:
      soln = solve(next_prefix, next_strs, next_length)
    else:
      # If not, do a weighted binary search on remaining strings
      while len(next_prefixes) > 1:
        split = (len(next_prefixes) + 2) // 3
        group = next_prefixes[:split]
        group_length = scs_length(prefix, strs, [s for _, s in group],
                                  concorde_path, concorde_verbose)
        if group_length == target_length:
          next_prefixes = group
        else:
          next_prefixes = next_prefixes[split:]
      if next_prefixes:
        next_prefix, _ = next_prefixes[0]
        next_strs = [s for s in strs if s not in next_prefix]
        check = True
        # Uncomment if paranoid
        #next_length = scs_length(next_prefix, next_strs, next_strs,
        #                         concorde_path, concorde_verbose)
        #check = (next_length == target_length)
        if check:
          soln = solve(next_prefix, next_strs, target_length)

    assert soln is not None, (
      'solve failed! prefix=%r, strs=%r, target_length=%d' %
      (prefix, strs, target_length))

    pcn_solve_cache[cache_key] = soln[len(fixed_prefix):]
    return soln

  return solve('', strs, target_length)

parser = argparse.ArgumentParser()
parser.add_argument('--concorde', type=str, default='concorde',
                    help='path to Concorde binary')
parser.add_argument('--verbose', action='store_true',
                    help='dump all Concorde output')
parser.add_argument('--start', type=int, metavar='N', default=1,
                    help='start at this N')
parser.add_argument('--end', type=int, metavar='N', default=1000000,
                    help='stop after this N')
parser.add_argument('--one', type=int, metavar='N',
                    help='solve for a single N and exit')

def main():
  opts = parser.parse_args(sys.argv[1:])

  if opts.one is not None:
    opts.start = opts.one
    opts.end = opts.one

  prev_soln = ''
  for n in range(opts.start, opts.end+1):
    primes = map(str, prime_list_reduced(n))
    if all(p in prev_soln for p in primes):
      soln = prev_soln
    else:
      soln = pcn(n, opts.concorde, opts.verbose)

    print('%d %s' % (n, soln))
    sys.stdout.flush()
    prev_soln = soln

if __name__ == '__main__':
  main()