La convolution de Dirichlet est un type spécial de convolution qui apparaît comme un outil très utile dans la théorie des nombres. Il opère sur l'ensemble des fonctions arithmétiques .

Défi

Étant donné deux fonctions arithmétiques $f,g$ (c'est-à-dire les fonctions ), calculer la convolution de Dirichlet comme défini ci-dessous. $f,g: \mathbb N \to \mathbb R$ $(f * g): \mathbb N \to \mathbb R$

Détails

On utilise la convention $0 \notin \mathbb N = \{1,2,3,\ldots \}$ .
La convolution de Dirichlet $f*g$ de deux fonctions arithmétiques $f,g$ est à nouveau une fonction arithmétique, et elle est définie comme $(f * g) (n) = \sum_{d | n} f (\frac{n}{d}) \cdot g (d) = \sum_{i \cdot j = n} f (i) \cdot g (j) .$ $(f * g)(n) = \sum_\limits{d|n} f\left(\frac{n}{d}\right)\cdot g(d) = \sum_{i\cdot j = n} f(i)\cdot g(j).$ (Les deux sommes sont équivalentes. L'expression $d|n$ signifie que $d \in \mathbb N$ divise $n$ , donc la somme est sur lesdiviseursnaturelsde $n$ . De même, nous pouvons substituer $i = \frac{n}{d} \in \mathbb N, j =d \in \mathbb N$ et nous obtenons la deuxième formulation équivalente. Si vous n'êtes pas habitué à cette notation, il y a un exemple étape par étape ci-dessous.) Juste pour élaborer (ce n'est pas directement pertinent pour ce défi): La définition vient du calcul du produit de lasérie Dirichlet: $(\sum_{n \in N} \frac{f (n)}{n^{s}}) \cdot (\sum_{n \in N} \frac{g (n)}{n^{s}}) = \sum_{n \in N} \frac{(f * g) (n)}{n^{s}}$ $\left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{f(n)}{n^s}\right)\cdot \left(\sum_{n\in\mathbb N}\frac{g(n)}{n^s}\right) = \sum_{n\in\mathbb N}\frac{(f * g)(n)}{n^s}$
L'entrée est donnée sous forme de deux fonctions de boîte noire . Alternativement, vous pouvez également utiliser une liste infinie, un générateur, un flux ou quelque chose de similaire qui pourrait produire un nombre illimité de valeurs.
Il existe deux méthodes de sortie: Soit une fonction $f*g$ est retournée, soit vous pouvez prendre une entrée supplémentaire $n \in \mathbb N$ et renvoyer $(f*g)(n)$ directement.
Pour simplifier, vous pouvez supposer que chaque élément de $\mathbb N$ peut être représenté avec, par exemple, un entier 32 bits positif.
Pour simplifier, vous pouvez également supposer que chaque entrée $\mathbb R$ peut être représentée par exemple par un seul nombre réel à virgule flottante.

Exemples

Définissons d'abord quelques fonctions. Notez que la liste des nombres sous chaque définition représente les premières valeurs de cette fonction.

l'identité multiplicative ( A000007 ) $ϵ (n) = {\begin{cases} 1 & n = 1 \\ 0 & n > 1 \end{cases}$ $\epsilon(n) = \begin{cases}1 & n=1 \\ 0 & n>1 \end{cases}$ 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...
la fonction d'unité constante ( A000012 ) $1 (n) = 1 \forall n$ $\mathbb 1(n) = 1 \: \forall n$ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
la fonction d'identité ( A000027 ) $i d (n) = n \forall n$ $id(n) = n \: \forall n$ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, ...
la fonction de Möbius ( A008683 ) $μ (n) = {\begin{cases} (- 1)^{k} & if n is squarefree and k is the number of Primefactors of n \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $\mu(n) = \begin{cases} (-1)^k & \text{ if } n \text{ is squarefree and } k \text{ is the number of Primefactors of } n \\ 0 & \text{ otherwise } \end{cases}$ 1, -1, -1, 0, -1, 1, -1, 0, 0, 1, -1, 0, -1, 1, 1, 0, -1, 0, -1, ...
la fonction de totient d'Euler ( A000010 ) $φ (n) = n \prod_{p | n} (1 - \frac{1}{p})$ $\varphi(n) = n\prod_{p|n} \left( 1 - \frac{1}{p}\right)$ 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, ...
la fonction de Liouville ( A008836 ) $λ (n) = (- 1)^{k}$ $\lambda (n) = (-1)^k$ où $k$ est le nombre de facteurs premiers de $n$ comptés avec multiplicité 1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, ...
la fonction de somme des diviseurs ( A000203 ) $σ (n) = \sum_{d | n} d$ $\sigma(n) = \sum_{d | n} d$ 1, 3, 4, 7, 6, 12, 8, 15, 13, 18, 12, 28, 14, 24, 24, 31, 18, 39, 20, ...
la fonction de comptage des diviseurs ( A000005 ) $τ (n) = \sum_{d | n} 1$ $\tau(n) = \sum_{d | n} 1$ 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6, 4, 4, 2, 8, ...
la fonction caractéristique des nombres carrés ( A010052 ) $s q (n) = {\begin{cases} 1 & if n is a square number \\ 0 & otherwise \end{cases}$ $sq(n) = \begin{cases} 1 & \text{ if } n \text{ is a square number} \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}$ 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...

Ensuite, nous avons les exemples suivants:

$\epsilon = \mathbb 1 * \mu$
$f = \epsilon * f \: \forall f$
$\epsilon = \lambda * \vert \mu \vert$
$\sigma = \varphi * \tau$
$id = \sigma * \mu$ et $\sigma = id * \mathbb 1$
$sq = \lambda * \mathbb 1$ et $\lambda = \mu * sq$
$\tau = \mathbb 1 * \mathbb 1$ et $\mathbb 1 = \tau * \mu$
$id = \varphi * \mathbb 1$ et $\varphi = id * \mu$

Les derniers pour sont une conséquence de l' inversion de Möbius : pour tout $f,g$ l'équation $g = f * 1$ est équivalente à $f = g * \mu$ .

Exemple étape par étape

Il s'agit d'un exemple calculé étape par étape pour ceux qui ne connaissent pas la notation utilisée dans la définition. Considérons les fonctions $f = \mu$ et $g = \sigma$ . Nous allons maintenant évaluer leur convolution $\mu * \sigma$ à $n=12$ . Leurs premiers termes sont répertoriés dans le tableau ci-dessous.

\begin{array}{cccccccccccccc} f & f (1) & f (2) & f (3) & f (4) & f (5) & f (6) & f (7) & f (8) & f (9) & f (10) & f (11) & f (12) \\ μ & 1 & - 1 & - 1 & 0 & - 1 & 1 & - 1 & 0 & 0 & 1 & - 1 & 0 \\ σ & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \end{array}

$\begin{array}{c|ccccccccccccc} f & f(1) & f(2) & f(3) & f(4) & f(5) & f(6) & f(7) & f(8) & f(9) & f(10) & f(11) & f(12) \\ \hline \mu & 1 & -1 & -1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ \sigma & 1 & 3 & 4 & 7 & 6 & 12 & 8 & 15 & 13 & 18 & 12 & 28 \\ \end{array}$

La somme itère sur tous les nombres naturels $d \in \mathbb N$ qui divisent $n=12$ , donc $d$ suppose tous les diviseurs naturels de $n=12 = 2^2\cdot 3$ . Ce sont $d =1,2,3,4,6,12$ . Dans chaque somme, nous évaluons $g= \sigma$ en $d$ et le multiplions par $f = \mu$ évalué en $\frac{n}{d}$ . Nous pouvons maintenant conclure

\begin{aligned} (μ * σ) (12) & = μ (12) σ (1) & + μ (6) σ (2) & + μ (4) σ (3) & + μ (3) σ (4) & + μ (2) σ (6) & + μ (1) σ (12) \\ = 0 \cdot 1 & + 1 \cdot 3 & + 0 \cdot 4 & + (- 1) \cdot 7 & + (- 1) \cdot 12 & + 1 \cdot 28 \\ = 0 & + 3 & 10 & - 7 & - 12 & + 28 \\ = 12 \\ = i d (12) \end{aligned}

$\begin{array}{rlccccc} (\mu * \sigma)(12) &= \mu(12)\sigma(1) &+\mu(6)\sigma(2) &+\mu(4)\sigma(3) &+\mu(3)\sigma(4) &+\mu(2)\sigma(6) &+\mu(1)\sigma(12) \\ &= 0\cdot 1 &+ 1\cdot 3 &+ 0 \cdot 4 &+ (-1)\cdot 7 &+ (-1) \cdot 12 &+ 1 \cdot 28 \\ &= 0 & + 3 & 1 0 & -7 & - 12 & + 28 \\ &= 12 \\ & = id(12) \end{array}$

— flawr
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5

Lean , 108 100 95 78 75 octets

def d(f g:_->int)(n):=(list.iota n).foldr(λd s,ite(n%d=0)(s+f d*g(n/d))s)0

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Plus de tests avec toutes les fonctions.

— Leaky Nun
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est lambda vraiment plus cher que quatre octets fun ?

— Mario Carneiro

lambda est de trois octets, je suppose

— Leaky Nun

Je pense que c'est deux en UTF8 (le grec est unicode assez bas)

— Mario Carneiro

Tu as raison. J'ai également joué à l'importation

— Leaky Nun

J'ai également utilisé condpour économiser 5 octets

— Leaky Nun

4

Haskell , 46 octets

(f!g)n=sum[f i*g(div n i)|i<-[1..n],mod n i<1]

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Merci à flawr pour -6 octets et un grand défi! Et merci à H.PWiz pour un autre -6!

— Mego
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Plus simple est plus court ici

— H.PWiz

@ H.PWiz C'est assez intelligent - je n'ai même pas pensé à le faire de cette façon!

— Mego

3

Python 3 , 59 octets

lambda f,g,n:sum(f(d)*g(n//d)for d in range(1,n+1)if 1>n%d)

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— Leaky Nun
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Est-ce //vraiment nécessaire au lieu de /?

— M. Xcoder

/produirait des flotteurs à droite?

— Leaky Nun

Parce que dc'est un diviseur de npar définition, la partie fractionnaire de n/dest zéro, donc il ne devrait pas y avoir de problème avec l'arithmétique à virgule flottante. Les flottants avec une partie fractionnaire nulle sont assez proches des ints à des fins Pythoniques, et la sortie de la fonction est un nombre réel, donc faire n/dau lieu de n//ddevrait être bien.

— Mego

3

Wolfram Language (Mathematica) , 17 octets

Bien sûr, Mathematica a une fonction intégrée. Il arrive également de connaître de nombreuses fonctions d'exemple. J'ai inclus quelques exemples de travail.

DirichletConvolve

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— Kelly Lowder
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2

Ajouter ++ , 51 octets

D,g,@~,$z€¦~¦*
D,f,@@@,@b[VdF#B]dbRzGb]$dbL$@*z€g¦+

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Prend deux fonctions prédéfinies comme arguments, plus $n$ et sorties $(f * g)(n)$

Comment ça fonctionne

D,g,		; Define a helper function, $g
	@~,	; $g takes a single argument, an array, and splats that array to the stack
		; $g takes the argument e.g. [[τ(x) φ(x)] [3 4]]
		; STACK : 			[[τ(x) φ(x)] [3 4]]
	$z	; Swap and zip:			[[3 τ(x)] [4 φ(x)]]
	€¦~	; Reduce each by execution:	[[τ(3) φ(4)]]
	¦*	; Take the product and return:	τ(3)⋅φ(4) = 4

D,f,		; Define the main function, $f
	@@@,	; $f takes three arguments: φ(x), τ(x) and n (Let n = 12)
		; STACK:			[φ(x) τ(x) 12]
	@	; Reverse the stack:		[12 τ(x) φ(x)]
	b[V	; Pair and save:		[12]			Saved: [τ(x) φ(x)]
	dF#B]	; List of factors:		[[1 2 3 4 6 12]]
	dbR	; Copy and reverse:		[[1 2 3 4 6 12] [12 6 4 3 2 1]]
	z	; Zip together:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]]]
	Gb]	; Push Saved:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)]]]
	$dbL	; Number of dividors:		[[[τ(x) φ(x)]] [[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] 6]
	$@*	; Repeat:			[[[1 12] [2 6] [3 4] [4 3] [6 2] [12 1]] [[τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)] [τ(x) φ(x)]]]
	z	; Zip:				[[[τ(x) φ(x)] [1 12]] [[τ(x) φ(x)] [2 6]] [[τ(x) φ(x)] [3 4]] [[τ(x) φ(x)] [4 3]] [[τ(x) φ(x)] [6 2]] [[τ(x) φ(x)] [12 1]]]
	€g	; Run $g over each subarray:	[[4 4 4 6 4 6]]
	¦+	; Take the sum and return:	28

— caird coinheringaahing
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2

R , 58 octets

function(n,f,g){for(i in (1:n)[!n%%1:n])F=F+f(i)*g(n/i)
F}

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Prend n, fet g. Heureusement, le numberspaquet a déjà un certain nombre de fonctions implémentées.

Si des versions vectorisées étaient disponibles, ce qui est possible en enveloppant chacune Vectorize , la version suivante de 45 octets est possible:

R , 45 octets

function(n,f,g,x=1:n,i=x[!n%%x])f(i)%*%g(n/i)

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— Giuseppe
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2

APL (Dyalog Classic) , 20 octets

{(⍺⍺¨∘⌽+.×⍵⍵¨)∪⍵∨⍳⍵}

avec ⎕IO←1

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Facile à résoudre, difficile à tester - généralement pas mon type de défi. Pourtant, j'ai beaucoup apprécié celui-ci!

{ }définit un opérateur dyadique dont les opérandes ⍺⍺et ⍵⍵les deux fonctions sont convolués; ⍵est l'argument numérique

∪⍵∨⍳⍵sont les diviseurs de ⍵dans l'ordre croissant, c'est-à-dire unique ( ∪) des LCM ( ∨) de ⍵avec tous les nombres naturels jusqu'à ( ⍳)

⍵⍵¨ appliquer l'opérande droit à chaque

⍺⍺¨∘⌽ appliquer l'opérande gauche à chacun en sens inverse

+.× produit intérieur - multiplier les éléments correspondants et additionner

La même chose dans ngn / apl semble meilleure en raison des identificateurs Unicode, mais prend 2 octets supplémentaires en raison de l'indexation 1.

— ngn
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Je suis sûr que cela prend 27 octets supplémentaires dans ngn / apl ...

— Erik the Outgolfer

1

Gelée , 9 octets

ÆDṚÇ€ḋÑ€Ʋ

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La ligne en haut est la ligne principale de $f$ , la ligne en bas est la ligne principale de $g$ . $n$ est passé en argument à cette fonction.

— Erik le Outgolfer
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1

Swift 4 , 74 70 54 octets

{n in(1...n).map{n%$0<1 ?f(n/$0)*g($0):0}.reduce(0,+)}

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— M. Xcoder
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1

JavaScript (ES6), 47 octets

Prend l'entrée comme (f)(g)(n).

f=>g=>h=(n,d=n)=>d&&!(n%d)*f(n/d)*g(d)+h(n,d-1)

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Exemples

liouville =
n => (-1) ** (D = (n, k = 2) => k > n ? 0 : (n % k ? D(n, k + 1) : 1 + D(n / k, k)))(n)

mobius =
n => (M = (n, k = 1) => n % ++k ? k > n || M(n, k) : n / k % k && -M(n / k, k))(n)

sq =
n => +!((n ** 0.5) % 1)

identity =
n => 1

// sq = liouville * identity
console.log([...Array(25)].map((_, n) => F(liouville)(identity)(n + 1)))

// liouville = mobius * sq
console.log([...Array(20)].map((_, n) => F(mobius)(sq)(n + 1)))

— Arnauld
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1

C (gcc) , 108 octets

#define F float
F c(F(*f)(int),F(*g)(int),int n){F s=0;for(int d=0;d++<n;)if(n%d<1)s+=f(n/d)*g(d);return s;}

Implémentation simple, volée sans vergogne à la réponse Python de Leaky Nun .

Non golfé:

float c(float (*f)(int), float (*g)(int), int n) {
    float s = 0;
    for(int d = 1; d <= n;++d) {
        if(n % d == 0) {
            s += f(n / d) * g(d);
        }
    }
    return s;
}

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— joH1
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1

F #, 72 octets

let x f g n=Seq.filter(fun d->n%d=0){1..n}|>Seq.sumBy(fun d->f(n/d)*g d)

Prend les deux fonctions fet get un nombre naturel n. Filtre les valeurs dqui ne se divisent pas naturellement n. Ensuite, les évalue f(n/d) et les g(d)multiplie et résume les résultats.

— Ciaran_McCarthy
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0

Pari / GP , 32 octets

(f,g,n)->sumdiv(n,d,f(n/d)*g(d))

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Il y a une dirmulfonction intégrée, mais elle ne prend en charge que des séquences finies .

— alephalpha
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0

APL (NARS), 47 caractères, 94 octets

{(m⍵[1])×n⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}

où m et n sont la fonction que l'on doit utiliser (ceci parce que je ne sais pas comment appeler un tableau de fonction dans une fonction dans APL). En utilisant l'exemple ci-dessus, la multiplication de la fonction Mobius (ici, c'est 12π) et la fonction somme des diviseurs (ici, c'est 11π) pour la valeur 12, cette multiplication serait:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}12
12

si l'on doit calculer une autre valeur:

  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1002
1002
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}1001
1001
  {(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}20000x
20000

On peut voir si par exemple le premier nombre 2000 le résultat de la fonction est l'identité

  (⍳2000)≡{(12π⍵[1])×11π⍵[2]}{+/⍺⍺¨{k←⍳⍵⋄(⍵÷b),¨b←k/⍨0=k∣⍵}⍵}¨⍳2000
1

— RosLuP
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Dirichlet Convolution

Défi

Détails

Exemples

Exemple étape par étape

Lean , 108 100 95 78 75 octets

Haskell , 46 octets

Python 3 , 59 octets

Wolfram Language (Mathematica) , 17 octets

Ajouter ++ , 51 octets

Comment ça fonctionne

R , 58 octets

R , 45 octets

APL (Dyalog Classic) , 20 octets

Gelée , 9 octets

Swift 4 , 74 70 54 octets

JavaScript (ES6), 47 octets

Exemples

C (gcc) , 108 octets

F #, 72 octets

Pari / GP , 32 octets

APL (NARS), 47 caractères, 94 octets