Les mathématiques ont beaucoup de symboles. Certains pourraient dire trop de symboles. Permet donc de faire quelques calculs avec des images.
Permet d'avoir un papier, sur lequel nous allons puiser. Pour commencer le papier est vide, on dira que c'est équivalent à ou vrai .
Si nous écrivons d'autres choses sur le papier, elles seront également vraies.
Par exemple
Indique que les revendications et Q sont vraies.
Maintenant, disons que si nous dessinons un cercle autour d'une déclaration, cette déclaration est fausse. Cela représente non logique.
Par exemple:
Indique que est faux et Q est vrai.
Nous pouvons même placer le cercle autour de plusieurs sous-déclarations:
Puisque la partie à l'intérieur du cercle se lit normalement comme en mettant un cercle autour d'elle, cela signifie non ( P et Q ) . On peut même imbriquer des cercles
Cela se lit comme .
Si nous dessinons un cercle sans rien, cela représente ou faux .
Puisque l'espace vide était vrai, la négation de vrai est fausse.
Maintenant, en utilisant cette méthode visuelle simple, nous pouvons réellement représenter n'importe quelle déclaration dans la logique propositionnelle.
Preuves
La prochaine étape après avoir pu représenter des déclarations est de pouvoir les prouver. Pour les preuves, nous avons 4 règles différentes qui peuvent être utilisées pour transformer un graphe. Nous commençons toujours par une feuille vide qui, comme nous le savons, est une vérité vide de sens, puis utilisons ces différentes règles pour transformer notre feuille de papier vide en théorème.
Notre première règle d'inférence est l' insertion .
Insertion
Nous appellerons le nombre de négations entre un sous-graphique et le niveau supérieur c'est la "profondeur". L'insertion nous permet d'introduire toute déclaration que nous souhaitons à une profondeur étrange.
Voici un exemple de nous effectuant l'insertion:
Ici, nous avons choisi , mais nous pourrions tout aussi bien choisir la déclaration que nous voulions.
Effacement
La prochaine règle d'inférence est l' effacement . L'effacement nous dit que si nous avons une déclaration à une profondeur uniforme, nous pouvons la supprimer entièrement.
Voici un exemple d'effacement appliqué:
Double coupe
Double Cut est une équivalence. Ce qui signifie que, contrairement aux inférences précédentes, il peut également être inversé. Double Cut nous dit que nous pouvons dessiner deux cercles autour de n'importe quel sous-graphique, et s'il y a deux cercles autour d'un sous-graphique, nous pouvons les supprimer tous les deux.
Voici un exemple de la double coupe utilisée
Itération
L'itération est également une équivalence. 1 Son inverse est appelé Deiteration Si nous avons une déclaration et une coupe au même niveau, nous pouvons copier cette déclaration à l'intérieur d'une coupe.
Par exemple:
La déitération nous permet d'inverser une itération . Une instruction peut être supprimée via Deiteration s'il en existe une copie au niveau supérieur suivant.
Ce format de représentation et de preuve n'est pas de ma propre invention. Ils sont une modification mineure d'une logique schématique appelée Alpha Graphes Existentiels . Si vous voulez en savoir plus à ce sujet, il n'y a pas une tonne de littérature, mais l'article lié est un bon début.
Tâche
Votre tâche sera de prouver le théorème suivant:
Ceci, une fois traduit en logique traditionnelle, symbolise
.
Également connu sous le nom d' axiome Łukasiewicz-Tarski .
Cela peut sembler impliqué, mais les graphes existentiels sont très efficaces en termes de longueur de preuve. J'ai choisi ce théorème parce que je pense que c'est une longueur appropriée pour un puzzle amusant et stimulant. Si vous rencontrez des problèmes avec celui-ci, je recommanderais d'essayer d'abord quelques théorèmes plus basiques pour comprendre le système. Une liste de ceux-ci peut être trouvée au bas de l'article.
C'est une épreuve de golf donc votre score sera le nombre total d'étapes dans votre épreuve du début à la fin. Le but est de minimiser votre score.
Format
Le format de ce défi est flexible, vous pouvez soumettre des réponses dans n'importe quel format clairement lisible, y compris les formats dessinés à la main ou rendus. Cependant, pour plus de clarté, je suggère le format simple suivant:
Nous représentons une coupe entre parenthèses, tout ce que nous coupons est placé à l'intérieur des parens. La coupe vide ne serait que
()
par exemple.Nous représentons les atomes avec juste leurs lettres.
À titre d'exemple, voici l'énoncé d'objectif dans ce format:
(((A((B(A))))(((((C)((D((E)))))(((C((D(F))))(((E(D))((E(F))))))))(G))))((H(G))))
Ce format est agréable car il est à la fois lisible par l'homme et par la machine, donc l'inclure dans votre message serait bien.
Quant à votre travail réel, je recommande le crayon et le papier lorsque vous vous entraînez. Je trouve que le texte n'est pas aussi intuitif que le papier en ce qui concerne les graphiques existentiels.
Exemple de preuve
Dans cet exemple de preuve, nous prouverons le théorème suivant:
Preuve:
Théorèmes de pratique
Voici quelques théorèmes simples que vous pouvez utiliser pour pratiquer le système:
Deuxième Axiome de Łukasiewicz
Axiome de Meredith
1: La plupart des sources utilisent une version plus sophistiquée et puissante d' itération , mais pour garder ce défi simple, j'utilise cette version. Ils sont fonctionnellement équivalents.