Contexte

Une grille triangulaire est une grille formée en mosaïque régulière du plan avec des triangles équilatéraux de longueur 1. L'illustration ci-dessous est un exemple de grille triangulaire.

Un point de réseau triangulaire est un sommet d'un triangle formant la grille triangulaire.

L' origine est un point fixe sur le plan, qui est l'un des points du réseau triangulaire.

Défi

À partir d'un entier non négatif n, recherchez le nombre de points de réseau triangulaires dont la distance euclidienne par rapport à l'origine est inférieure ou égale à n.

Exemple

La figure suivante est un exemple pour n = 7(ne montrant qu'une zone de 60 degrés par souci de commodité, le point A étant l'origine):

Cas de test

Input | Output
---------------
    0 |       1
    1 |       7
    2 |      19
    3 |      37
    4 |      61
    5 |      91
    6 |     127
    7 |     187
    8 |     241
    9 |     301
   10 |     367
   11 |     439
   12 |     517
   13 |     613
   14 |     721
   15 |     823
   16 |     931
   17 |    1045
   18 |    1165
   19 |    1303
   20 |    1459
   40 |    5815
   60 |   13057
   80 |   23233
  100 |   36295
  200 |  145051
  500 |  906901
 1000 | 3627559

Astuce : Cette séquence n'est pas OEIS A003215 .

Règles

Les règles standard pour le golf de code s'appliquent. La soumission la plus courte gagne.

Veuillez inclure comment vous avez résolu le problème dans votre soumission.

Python 2 , 43 octets

f=lambda n,a=1:n*n<a/3or n*n/a*6-f(n,a+a%3)

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C'est de la magie noire.

Offrir 250 représentants pour une preuve écrite. Voirla réponse de Lynnpour une preuve et une explication.

Haskell , 48 octets

f n=1+6*sum[(mod(i+1)3-1)*div(n^2)i|i<-[1..n^2]]

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Utilise la formule "magie noire" de xnor:

$$f(n)=1+6\sum_{a=0}^\infty \left\lfloor \frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$$

Une preuve de sa justesse, et une explication de la façon dont xnor a réussi à exprimer dans 43 octets de Python, peuvent être trouvés ici .

$1 \le N \le n^2$$N = (x+y\omega)(x+y\omega^*)$$(x,y)$

$$6 \times ((\text{# of divisors of }N \equiv 1\space(\text{mod }3)) - (\text{# of divisors of }N \equiv 2\space(\text{mod }3)))$$

$1$$n^2$

Wolfram Language (Mathematica) , 53 51 50 octets

^{-1 octet grâce à @miles}

Sum[Boole[x(x+y)+y^2<=#^2],{x,-2#,2#},{y,-2#,2#}]&

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Comment?

Au lieu de penser à ceci:

Pensez-y comme ceci:

Nous appliquons donc la matrice [[sqrt(3)/2, 0], [1/2, 1]]de transformation pour transformer le deuxième chiffre en premier.

Ensuite, il faut trouver le cercle dans la grille triangulaire en termes de coordonnées cartésiennes.

(sqrt(3)/2 x)^2 + (1/2 x + y)^2 = x^2 + x y + y^2

Donc, nous trouvons des points de réseau x, ytels quex^2 + x y + y^2 <= r^2

Par exemple, avec r = 3:

Wolfram Language (Mathematica) , 48 octets

Basé sur OEIS A004016 .

1+6Sum[DivisorSum[i,#~JacobiSymbol~3&],{i,#^2}]&

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CJam (24 octets)

{_*_,f{)_)3%(@@/*}1b6*)}

Il s'agit d'un bloc anonyme (fonction) qui prend un argument sur la pile et laisse le résultat sur la pile. Suite de tests en ligne . Notez que les deux plus gros cas sont trop lents.

Explication

Alephalpha a noté dans un commentaire sur la question que

C'est la somme des n premiers ^ 2 + 1 termes d' OEIS A004016

$$f(n) = 1 + 6 \sum_{a=0}^\infty \left\lfloor\frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$$

Ma preuve de l'exactitude de cette formule est basée sur des informations tirées du lien OEIS d'Alephalpha:

Gf: 1 + 6 * Somme_ {n> = 1} x ^ (3 * n-2) / (1-x ^ (3 * n-2)) - x ^ (3 * n-1) / (1- x ^ (3 * n-1)). - Paul D. Hanna, 03 juillet 2011

$x^a$

$$\prod_{k=0}^\infty (1-q^{k+1})(1 + xq^{k+1})(1 + x^{-1}q^k) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} q^{k(k+1)/2}x^k$$ $$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \omega^{m-n} q^{m^2+mn+n^2} = \prod_{k=1}^\infty \frac{(1-q^k)^3}{1-q^{3k}}$$ $\omega$ $$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} q^{m^2+mn+n^2} = 1 + 6 \sum_{k \ge 0} \left(\frac{q^{3k+1}}{1-q^{3k+1}} - \frac{q^{3k+2}}{1-q^{3k+2}} \right)$$

Dissection de code

{          e# Define a block. Stack: ... r
  _*       e#   Square it
  _,f{     e#   Map with parameter: invokes block for (r^2, 0), (r^2, 1), ... (r^2, r^2-1)
    )      e#     Increment second parameter. Stack: ... r^2 x with 1 <= x <= r^2
    _)3%(  e#     Duplicate x and map to whichever of 0, 1, -1 is equal to it (mod 3)
    @@/*   e#     Evaluate (r^2 / x) * (x mod 3)
  }
  1b6*     e#   Sum and multiply by 6
  )        e#   Increment to count the point at the origin
}

J , 27 octets

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:

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Basé sur la méthode de JungHwan Min .

Explication

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:  Input: n
                         +:  Double
                      i:     Range [-2n .. 2n]
                  "{~        For each pair (x, y)
                *:             Square both x and y
              +                Add x^2 and y^2
             +                 Plus
            *                  Product of x and y
        >:                   Less than or equal to
      *:                     Square of n
     ,                       Flatten
  +/                         Reduce by addition

APL (Dyalog Classic) , 23 octets

{1+6×+/-/⌊⍵÷1+3⊥¨⍳⍵2}×⍨

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hommage à son xnor et de lynn réponses

le dernier test est commenté car il a besoin de plus de mémoire, par exemple MAXWS=200Mdans env

Gelée , 14 octets

ḤŒR+²_×ʋþ`F½»ċ

Utilise la méthode de @ JungHwanMin .

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Gelée ,  15 à  13 octets

-2 grâce à Dennis (incrémentez simplement le carré pour éviter la concaténation d'un zéro; évitez la tête en utilisant une tranche modulo post-différence plutôt qu'une tranche pré-différence)

^{Utilise la méthode de "magie noire" pour préciser la réponse exposée par xnor dans sa réponse en Python , mais utilise l'itération plutôt que la récursion (et un peu moins de calcul)}

²:Ѐ‘$Im3S×6C

Un lien monadique acceptant un entier non négatif et renvoyant un entier positif.

Essayez-le en ligne! Ou voir la suite de tests .

Comment?

²:Ѐ‘$Im3S×6C - Main Link: non-negative integer, n     e.g. 7
²             - square                                     49
     $        - last two links as a monad:
    ‘         -   increment                                50
  Ѐ          -   map across (implicit range of) right with:
 :            -     integer division                       [49,24,16,12,9,8,7,6,5,4,4,4,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0]
      I       - incremental differences                    [-25,-8,-4,-3,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
       m3     - every third element                        [-25,-3,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
         S    - sum (vectorises)                           -31
          ×6  - multiply by six                           -186
            C - complement (1-X)                           187

JavaScript (ES6), 65 octets

Ceci est un port de la solution de @ JungHwanMin .

f=(n,y=x=w=n*2)=>y-~w&&(x*x+x*y+y*y<=n*n)+f(n,y-=--x<-w&&(x=w,1))

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---

Réponse originale (ES7), 70 octets

Il suffit de parcourir la grille et de compter les points correspondants.

f=(n,y=x=n*=2)=>y+n+2&&(x*x*3+(y-x%2)**2<=n*n)+f(n,y-=--x<-n&&(x=n,2))

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Java 8, 65 octets

n->f(n,1)int f(int n,int a){return n*n<a/3?1:n*n/a*6-f(n,a+a%3);}

Port de la réponse Python 2 de @xnor .

Essayez-le en ligne.

Paris / GP , 42 octets

En utilisant le intégré qfrep.

n->1+2*vecsum(Vec(qfrep([2,1;1,2],n^2,1)))

qfrep (q, B, {flag = 0}): vecteur de (moitié) le nombre de vecteurs de normes de 1 à B pour la forme quadratique intégrale et définie q. Si flag est égal à 1, compter les vecteurs de même norme de 1 à 2B.

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C # (compilateur interactif Visual C #) , 68 octets

n=>{int g(int x,int y)=>x*x<y/3?1:x*x/y*6-g(x,y+y%3);return g(n,1);}

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Comme tout le monde, malheureusement. Je sais qu’il ya probablement une meilleure façon d’écrire cela, mais déclarer et appeler un lambda en même temps en c # n’est pas exactement quelque chose que je fais, enfin, jamais. Bien que dans ma défense, je ne peux pas penser à une bonne raison (en dehors du code golf, bien sûr) de le faire. Néanmoins, si quelqu'un sait comment vous pouvez faire cela, laissez-moi savoir et / ou voler le crédit, je suppose.

Wolfram Language (Mathematica) , 39 octets

Length@Solve[x(x+y)+y^2<=#^2,Integers]&

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Utiliser la transformation de coordonnées de JungHwan Min et compter simplement les solutions sur les entiers.

05AB1E , 15 octets

nD>L÷¥ā3%ÏO6*±Ì

La réponse du port de @JonathanAllan Jelly , qui est elle-même un dérivé de la formule de «magie noire» de @ xnor .

Essayez-le en ligne ou vérifiez tous les cas de test .

Explication:

n                # Square the (implicit) input-integer
 D>              # Duplicate it, and increase the copy by 1
   L             # Create a list in the range [1, input^2+1]
    ÷            # Integer divide input^2 by each of these integers
     ¥           # Take the deltas
      ā          # Push a list in the range [1, length] without popping the deltas itself
       3%        # Modulo each by 3
         Ï       # Only leave the values at the truthy (==1) indices
          O      # Take the sum of this list
           6*    # Multiply it by 6
             ±   # Take the bitwise NOT (-n-1)
              Ì  # And increase it by 2
                 # (after which the result is output implicitly)