Étant donné un polynôme intégral de degré strictement supérieur à un, le décomposer complètement en une composition de polynômes intégraux de degré strictement supérieur à un.
Détails
- Un polynôme intégral est un polynôme avec uniquement des entiers comme coefficients.
- Étant donné deux polynômes
petqla composition est définie par(p∘q)(x):=p(q(x)). - La décomposition d'un polynôme intégral
pest une séquence ordonnée finie de polynômes intégrauxq1,q2,...,qnoùdeg qi > 1pour tous1 ≤ i ≤ netp(x) = q1(q2(...qn(x)...)), et tousqine sont plus décomposables. La décomposition n'est pas nécessairement unique. - Vous pouvez par exemple utiliser des listes de coefficients ou des types polynomiaux intégrés comme entrée et sortie.
- Notez que de nombreuses commandes internes pour cette tâche décomposent en fait les polynômes sur un champ donné et pas nécessairement des entiers, alors que ce défi nécessite un polynôme entier de décomposition. (Certains polynômes entiers peuvent admettre une décomposition en polynômes entiers ainsi qu'une décomposition contenant des polynômes rationnels.)
Exemples
x^2 + 1
[x^2 + 1] (all polynomials of degree 2 or less are not decomposable)
x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6 x - 1
[x^3 - 2, x^2 - 2x + 1]
x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 8x + 2
[x^2 + 1, x^2 - 4x + 1]
x^6 + x^2 + 1
[x^3 + x + 1, x^2]
x^6
[x^2, x^3]
x^8 + 4x^6 + 6x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 1)^4 + 3
[x^2 + 3, x^2, x^2 + 1]
x^6 + 6x^4 + x^3 + 9x^2 + 3x - 5
[x^2 + x - 5, x^3 + 3*x], [x^2 + 5*x + 1, x^3 + 3*x - 2]
Utilisez Maxima pour générer des exemples: essayez-le en ligne!
Quelques algorithmes de décomposition peuvent être trouvés ici et ici .