Le défi est d'écrire du codegolf pour le Hafnian d'une matrice . Le Hafnien d'une matrice 2n-par- 2nsymétrique Aest défini comme:

Ici, S _2n représente l'ensemble de toutes les permutations des entiers de 1à 2n, c'est-à-dire [1, 2n].

Le lien wikipedia parle des matrices d'adjacence mais votre code devrait fonctionner pour toutes les matrices d'entrée symétriques à valeur réelle.

Pour ceux qui s'intéressent aux applications du Hafnian, le lien mathoverflow en discute plus.

Votre code peut prendre une entrée comme il le souhaite et donner une sortie dans n'importe quel format raisonnable, mais veuillez inclure dans votre réponse un exemple complet comprenant des instructions claires sur la façon de fournir une entrée à votre code.

La matrice d'entrée est toujours carrée et sera au maximum de 16 sur 16. Il n'est pas nécessaire de pouvoir gérer la ou les matrices vides de dimension impaire.

Implémentation de référence

Voici un exemple de code python de M. Xcoder.

from itertools import permutations
from math import factorial

def hafnian(matrix):
    my_sum = 0
    n = len(matrix) // 2
    for sigma in permutations(range(n*2)):
        prod = 1
        for j in range(n):
            prod *= matrix[sigma[2*j]][sigma[2*j+1]]
        my_sum += prod
    return my_sum / (factorial(n) * 2 ** n)


print(hafnian([[0, 4.5], [4.5, 0]]))
4.5
print(hafnian([[0, 4.7, 4.6, 4.5], [4.7, 0, 2.1, 0.4], [4.6, 2.1, 0, 1.2], [4.5, 0.4, 1.2, 0]])
16.93
print(hafnian([[1.3, 4.1, 1.2, 0.0, 0.9, 4.4], [4.1, 4.2, 2.7, 1.2, 0.4, 1.7], [1.2, 2.7, 4.9, 4.7, 4.0, 3.7], [0.0, 1.2, 4.7, 2.2, 3.3, 1.8], [0.9, 0.4, 4.0, 3.3, 0.5, 4.4], [4.4, 1.7, 3.7, 1.8, 4.4, 3.2]])
262.458

La page wiki a maintenant (2 mars 2018) été mise à jour par ShreevatsaR pour inclure une manière différente de calculer le Hafnian. Il serait très intéressant de voir ce golf.

R , 150 142 127 127 119 octets

function(A,N=nrow(A),k=1:(N/2)*2)sum(apply(gtools::permutations(N,N),1,function(r)prod(A[cbind(r[k-1],r[k])])))/prod(k)

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Utilise la même astuce que j'ai découverte en descendant cette réponse pour indexer la matrice P, et @Vlo a suggéré une approche pour supprimer entièrement la forboucle pour -6 octets!

Pour créer un nouveau scénario de test, vous pouvez le faire matrix(c(values,separated,by,commas,going,across,rows),nrow=2n,ncol=2n,byrow=T).

Explication: (le code est le même; il utilise une boucle applyplutôt qu'une forboucle mais la logique est par ailleurs identique).

function(A){
N <- nrow(A)                   #N = 2*n
k <- 1:(N/2) * 2               #k = c(2,4,...,N) -- aka 2*j in the formula
P <- gtools::permutations(N,N) #all N-length permutations of 1:N
for(i in 1:nrow(P))
 F <- F + prod(A[cbind(P[i,k-1],P[i,k])]) # takes the product of all A_sigma(2j-1)sigma(2j) for fixed i and adds it to F (initialized to 0)
F / prod(k)                    #return value; prod(k) == n! * 2^n
}

Pyth , 24 octets

sm*Fmc@@Qhkek2d{mScd2.pU

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Ancienne version, 35 octets

*c1**FK/lQ2^2Ksm*Fm@@Q@dtyk@dykK.pU

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Stax , 23 22 19 17 octets

ü;Y╙◘▌Φq↓ê²╧▐å↑┌C

Exécutez-le et déboguez-le en ligne

La représentation ascii correspondante du même programme est la suivante.

%r|TF2/{xsE@i^H/m:*+

Le programme souffre d'une erreur d'arrondi en virgule flottante. En particulier, il rapporte 33673.5000000011au lieu de 33673.5. Mais je pense que la précision est acceptable étant donné que ce programme fonctionne sur des valeurs à virgule flottante. C'est aussi très lent, prenant presque une minute pour les exemples d'entrées sur cette machine.

%                             get size of matrix
 r|T                          get all permutations of [0 ... size-1]
    F                         for each, execute the rest of the program
     2/                       get consecutive pairs
       {        m             map each pair... 
        xsE@                      the matrix element at that location
            i^H/                  divided by 2*(i+1) where i=iteration index
                 :*           product of array
                   +          add to running total

05AB1E , 21 octets

ā<œε2ô{}Ùεε`Isèsè;]PO

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Ancienne version, 32 octets

āœvIg;©Lε·UIyX<èèyXèè}P}Oθ®!/®o/

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Comment ça marche?

āœvIg;©Lε·UIyX<èèyXèè}P}Oθ®!/®o/ – Full program. Argument: A matrix M.
ā                                – The range [1 ... len(M)].
 œ                               – Permutations.
  v                    }         – Iterate over the above with a variable y.
   Ig;©                          – Push len(M) / 2 and also store it in register c.
       Lε            }           – For each integer in the range [1 ... ^]:
         ·U                      – Double it and store it in a variable X.
            yX<                  – Push the element of y at index X-1.
           I   è                 – And index with the result into M.
                yXè              – Push the element of y at index X.
                   è             – And index with the result into ^^.
                      P          – Take the product of the resulting list.
                        O        – Sum the result of the mapping.
                         θ       – And take the last element*.
                          ®!     – Take the factorial of the last item in register c.
                             ®o  – Raise 2 to the power of the last item in register c.
                            /  / – And divide the sum of the mapping accordingly.

* – Yeah, this is needed because I mess up the stack when pushing so many values in the loop and not popping correctly ;P

Gelée , 19 octets

LŒ!s€2Ṣ€QḅL_LịFHP€S

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Version alternative, 15 octets, défi postdates

LŒ!s€2Ṣ€QœịHP€S

Jelly a finalement obtenu l'indexation des tableaux à n dimensions.

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Comment ça marche

LŒ!s€2Ṣ€QœiHP€S  Main link. Argument: M (matrix / 2D array)

L                Take the length, yielding 2n.
 Œ!              Generate all permutations of [1, ..., 2n].
   s€2           Split each permutation into pairs.
      Ṣ€         Sort the pair arrays.
        Q        Unique; deduplicate the array of pair arrays.
                 This avoids dividing by n! at the end.
           H     Halve; yield M, with all of its elements divided by 2.
                 This avoids dividing by 2**n at the end.
         œị      At-index (n-dimensional); take each pair of indices [i, j] and
                 yield M[i][j].
            P€   Take the product the results corresponding the same permutation.
              S  Take the sum of the products.

La version 19 octets fonctionne de manière similaire; il suffit de se mettre en œuvre œị.

...ḅL_LịFH...    Return value: Array of arrays of index pairs. Argument: M

    L            Length; yield 2n.
   ḅ             Convert each pair of indices [i, j] from base 2n to integer,
                 yielding ((2n)i + j).
     _L          Subtract 2n, yielding ((2n)(i - 1) + j).
                 This is necessary because indexing is 1-based in Jelly, so the
                 index pair [1, 1] must map to index 1.
        F        Yield M, flattened.
       ị         Take the indices to the left and get the element at these indices
                 from the array to the right.
         H       Halve; divide all retrieved elements by 2.

C (gcc) , 288 285 282 293 292 272 271 octets

• Enregistré trois octets en jouant avec deux post-incréments et pour le placement de la boucle.
• Enregistrement de trois octets en manipulant une autre post-incrémentation, en déplaçant les deux initialisations de variables avant la branche - joué if(...)...k=0...else...,j=0...au golf if(k=j=0,...)...else...- et en effectuant un décalage d'index.
• Onze octets requis en prenant en charge les floatmatrices.
• Enregistré un octet grâce à M. Xcoder ; jouer 2*j+++1au golf j-~j++.
• Enregistrement de vingt octets en supprimant une intdéclaration de type de variable superflue et en n'utilisant pas de fonction factorielle, mais en calculant la valeur factorielle à l'aide d'une boucle for déjà existante.
• Enregistré un octet en jouant S=S/F/(1<<n);au golf S/=F*(1<<n);.

float S,p,F;j,i;s(A,n,P,l,o,k)float*A;int*P;{if(k=j=0,o-l)for(;k<l;s(A,n,P,l,o+1))P[o]=k++;else{for(p=-l;j<l;j++)for(i=0;i<l;)p+=P[j]==P[i++];if(!p){for(F=p=1,j=0;j<n;F*=j)p*=A[P[2*j]*2*n+P[j-~j++]];S+=p;}}}float h(A,n)float*A;{int P[j=2*n];S=0;s(A,n,P,j,0);S/=F*(1<<n);}

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Explication

float S,p,F;                    // global float variables: total sum, temporary, factorial
j,i;                            // global integer variables: indices
s(A,n,P,l,o,k)float*A;int*P;{   // recursively look at every permutation in S_n
 if(k=j=0,o-l)                  // initialize k and j, check if o != l (possible  permutation not yet fully generated)
  for(;k<l;s(A,n,P,l,o+1))      // loop through possible values for current possible  permuation position
   P[o]=k++;                    // set possible  permutation, recursively call (golfed into the for loop)
 else{for(p=-l;j<l;j++)         // there exists a possible permutation fully generated
  for(i=0;i<l;)                 // test if the possible permutation is a bijection
   p+=P[j]==P[i++];             // check for unique elements
  if(!p){                       // indeed, it is a permutation
   for(F=p=1,j=0;j<n;F*=j)      // Hafnian product loop and calculate the factorial (over and over to save bytes)
    p*=A[P[2*j]*2*n+P[j-~j++]]; // Hafnian product
   S+=p;}}}                     // add to sum
float h(A,n)float*A;{           // Hafnian function
 int P[j=2*n];S=0;              // allocate permutation memory, initialize sum
 s(A,n,P,j,0);                  // calculate Hafnian sum
 S/=F*(1<<n);}                  // calculate Hafnian

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Au cœur du programme se trouve le générateur de permutation suivant qui boucle S_n. Tous les calculs hafniens sont simplement construits dessus - et plus loin encore.

j,i,p;Sn(A,l,o,k)int*A;{          // compute every element in S_n
 if(o-l)                          // o!=l, the permutation has not fully been generated
  for(k=0;k<l;k++)                // loop through the integers [0, n)
   A[o]=k,Sn(A,l,o+1);            // modify permutation, call recursively
 else{                            // possible permutation has been generated
  for(p=-l,j=0;j<l;j++)           // look at the entire possible permutation
   for(i=0;i<l;i++)p+=A[j]==A[i]; // check that all elements appear uniquely
  if(!p)                          // no duplicat elements, it is indeed a permutation
   for(printf("["),j=0;j<l        // print
   ||printf("]\n")*0;)            //  the
    printf("%d, ",A[j++]);}}      //   permutation
main(){int l=4,A[l];Sn(A,l,0);}   // all permutations in S_4

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R , 84 78 octets

h=function(m)"if"(n<-nrow(m),{for(j in 2:n)F=F+m[1,j]*h(m[v<--c(1,j),v]);F},1)

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Edit: Merci à Vlo pour -6 octets.

Il semble que tout le monde ici implémente l'algorithme de référence standard avec permutations, mais j'ai essayé de tirer parti des connaissances de la communauté acquises dans le défi associé , qui est essentiellement la même tâche ciblée pour le code le plus rapide au lieu du golf.

Il s'avère que pour un langage qui est bon pour trancher des matrices (comme R), l'algorithme récursif: hafnian(m) = sum(m[i,j] * hafnian(m[-rows and columns at i,j])est non seulement plus rapide, mais aussi assez golfique. Voici le code non golfé:

hafnian<-function(m)
{
    n=nrow(m)
    #Exits one step earlier than golfed version
    if(n == 2) return(m[1,2])
    h = 0
    for(j in 2:n) {
        if(m[1,j] == 0) next
        h = h + m[1,j] * hafnian(m[c(-1,-j),c(-1,-j)])
    }
    h
}

Gelée , 29 octets

LHµ2*×!
LŒ!s€2;@€€Wị@/€€P€S÷Ç

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Je pense que la ;@€€Wị@/€€P€partie peut probablement être tournée vers le bas. Besoin de revenir plus tard pour vérifier et ajouter une explication.

Haskell , 136 octets

-14 octets grâce aux ovs.

import Data.List
f m|n<-length m`div`2=sum[product[m!!(s!!(2*j-2)-1)!!(s!!(2*j-1)-1)/realToFrac(2*j)|j<-[1..n]]|s<-permutations[1..n*2]]

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Pouah...

MATL , 29 24 22 octets

Zy:Y@!"G@2eZ{)tn:E/pvs

Essayez-le en ligne! Ou vérifiez tous les cas de test: 1 , 2 , 3 .

Comment ça marche

Zy       % Size of (implicit) input: pushes [2*n 2*n], where the
         % input is a 2*n × 2*n matrix. 
:        % Range: gives row vector [1 2 ... 2*n]
Y@       % All permutation of that vector as rows of a matrix
!"       % For each permutation 
  G      %   Push input matrix
  @      %   Push current permutation
  2e     %   Reshape as a 2-row array
  Z{     %   Split rows into a cell array of size 2
  )      %   Reference indexing. With a cell array as index this
         %   applies element-wise indexing (similar to sub2ind).
         %   Gives a row vector with the n matrix entries selected
         %   by the current permutation
  t      %   Duplicate
  n:     %   Number of elements, range: this gives [1 2 ... n]
  E      %   Double, element-wise: gives [2 4 ... 2*n]
  /      %   Divide, element-wise
  p      %   Product
  vs     %   Vertically concatenate and sum
         % End (implicit). Display (implicit)

Wolfram Language (Mathematica) , 85 octets

#[[s[[j]],s[[n+j]]]]~Product~{j,n}~Sum~{s,n=Tr[1^#]/2;Permutations@Range[2n]}/n!/2^n&

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Noix de coco , 165 145 128 127 octets

-1 octet merci à M. Xcoder

m->sum(reduce((o,j)->o*m[p[2*j]][p[j-~j]]/-~j/2,range(len(m)//2),1)for p in permutations(range(len(m))))
from itertools import*

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Perl 6, 86 octets

{my \n=$^m/2;^$m .permutations.map({[*] .map(->\a,\b{$m[a][b]})}).sum/(2**n*[*] 1..n)}