Défi
Étant donné un ensemble T
de sous-ensembles d'un ensemble fini S={1,2,3,...,n}
, déterminez s'il T
s'agit d'une topologie ou non.
Explication
Le jeu P(S)
de puissance d'un ensemble S
est l'ensemble de tous les sous-ensembles de S
. Quelques exemples:
S = {}, P(S) = {{}}
S = {1}, P(S) = {{}, {1}}
S = {1,2}, P(S) = {{}, {1}, {2}, {1,2}}
S = {1,2,3}, P(S) = {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}
Une topologie T
sur l'ensemble S
est un sous-ensemble P(S)
avec les propriétés suivantes:
{}
estT
etS
estT
- Si
A
etB
sontT
dedans, leur intersection l'est aussiA ∩ B
- Si
A
etB
sontT
là, leur union l'est aussiA ∪ B
*
* Cette définition n'est pas tout à fait correcte, mais elle est vraie pour les ensembles finis, ce qui est suffisant pour les besoins de ce défi. L'axiome réel permettrait également des unions infinies, mais cela n'est pas pertinent dans le cas fini.
Détails
- Vous pouvez supposer que
S = {1,2,...,n}
(ou alternativementS = {0,1,...,n}
) oùn
est le plus grand entier qui apparaît dans les ensembles deT
. - Le format d'entrée est flexible: vous pouvez utiliser une chaîne, une liste de listes ou un ensemble de listes ou tout autre format similaire que votre langage peut gérer. Vous pouvez également utiliser des ensembles comme
S = {0,1,...,n}
si c'était plus pratique. - La sortie doit être vraie ou falsey.
- Vous êtes autorisé à prendre
n
(ou alternativementn+1
oun-1
) comme entrée supplémentaire. - Si vous travaillez avec des listes ordonnées, vous pouvez supposer que les numéros d'un ensemble sont triés. Vous pouvez également supposer que la liste a un certain ordre (par exemple lexicographique.
- Comme nous représentons des ensembles, vous pouvez supposer que deux entrées de leur représentation de liste ne sont pas égales.
Exemples
Topologies
{{}} over {}
{{},{1}} over {1}
P(S) over S (see in the explanation)
{{},{1},{1,2}} over {1,2}
{{},{1},{2,3},{1,2,3}} over {1,2,3}
{{1}, {1,2,3}, {1,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6}, {}, {2,3}, {4,5,6}, {2,3,4,5,6}}
{{}, {1}, {2,3}, {2}, {4,5,6}, {5,6}, {5}, {2,5,6}, {2,5}, {1,5}, {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3}, {1,2}, {1,4,5,6}, {1,5,6}, {1,2,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,3,5,6}, {2,3,5}, {1,2,3,5}, {2,4,5,6}, {1,2,5}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}}
{{}, {1}, {1,2}, {1,2,3}, {1,2,3,4}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8}, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}}
{{}, {1}, {1,2,3}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}}
non topologies
{{1}} because {} is not contained
{{},{2}} because {1,2} is not contained
{{},{1,2},{2,3}} because the union {1,2,3} is not contained
{{},{1},{1,2},{2,3},{1,2,3}} because the intersection of {1,2} and {2,3} is not contained
{{},{1},{2},{3},{1,2},{2,3},{1,2,3}} because the union of {1} and {3} is not contained
{{}, {1}, {2,3}, {2}, {4,5,6}, {5,6}, {5}, {2,5,6}, {2,5}, {1,5}, {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3}, {1,2}, {1,4,5,6}, {1,5,6}, {1,2,5,6}, {2,3,4,5,6}, {2,3,5,6}, {2,3,5}, {2,4,5,6}, {1,2,5}, {1,2,3,5,6}, {1,2,4,5,6}} because {1,2,3,5} is missing
{{}, {1}, {2}, {1,2,3}, {1,2,3,4,5}, {1,2,3,4,5,6,7}, {1,2,3,4,5,6,7,8,9}} because {1,2} is missing
T
s'agit d'un ensemble, je pense qu'il est raisonnable de supposer qu'aucun sous-ensemble de l'entrée n'est répété (c'est {{}, {1,2}, {1,2}}
-à- dire qu'il ne s'agit pas d'une entrée valide). Pouvez-vous clarifier cela dans le défi, soit affirmativement, soit négativement?