Connaître simplement le nombre de dents sur un plateau peut-on déterminer un diamètre précis?

Un plateau est un polygone régulier à n côtés où n est le nombre de dents. La longueur latérale s du polygone est la distance de bout en bout de chaque dent de plateau.

La formule pour le rayon d'un polygone régulier est:

_{(source: mathopenref.com )}

En utilisant le zenbike de 12,75 mm ci-dessus pour s , nous obtenons 107,61 pour le rayon, ou 215,22 mm pour le diamètre, ce qui est très proche de son approximation.

La comparaison des deux formules montre que le terme de longueur, comme prévu, peut être éliminé. Cela nous laisse avec:

1 / sin ( pi / n ) vs n / pi

Pour les grands n , ces termes convergent, introduisant une erreur de seulement 0,12 mm lorsque n = 53. Il est un peu plus grand à mesure que n diminue, différant de 0,64 mm pour n = 11.

À toutes fins pratiques, j'utiliserais simplement s * n / pi , même pour le plus petit engrenage que vous rencontrerez, ce sera dans un millimètre.

Si vous ne connaissez que le pas de la chaîne (standard pour la plupart des vélos) et le nombre de dents, vous pouvez décrire entièrement le cercle (et le n-gon) à travers les centres des broches uniquement . Je ferai de mon mieux pour faire les formules mathématiques d'une manière lisible avec du texte, mais je décrirai complètement chacun des quatre cercles / n-gons:

Laisser:

n = nombre de dents

L = pas de chaîne (longueur du maillon) (12,7 mm pour la plupart des vélos)

Voir ci-dessous pour les mesures de vallée, de sommet de rouleau et de sommet de dent. Notez que sommets des dents peuvent varier entre les fabricants et vont varier tout au long de la vie de l'anneau. La méthode alternative en bas est probablement la méthode la plus simple à utiliser pour le dégagement du cadre.

Puisque vous connaissez le pas de la chaîne (1/2 "ou 12,7 mm est une chaîne de la série 40 généralement utilisée sur un vélo), les axes de chaîne formeront un n-gon régulier (un polygone avec n-côtés de longueur égale) , chaque côté étant égal à 12,7 mm. La formule pour le périmètre de ce n-gon est assez simple (ci-dessous) et conviendrait pour la plupart des approximations. Notez que cela est également égal à la longueur de chaîne qui serait enroulée autour du anneau (la chaîne suivrait le n-gon, pas le cercle).

Périmètre de n-gon fait par des centres de broches

Périmètre de n-gon = L * n = 12,7 * n mm

Cependant, ce n'est pas entièrement exact pour décrire le cercle à travers les centres des broches. Les formules les plus précises sont ci-dessous:

Entourez les centres des broches

circonférence = pi * L / (sin (180 / n)) = 39.8982 / (sin (180 / n)) mm

rayon = L / (2 sin (180 / n)) = 6,35 / sin (180 / n) mm = 'pcRad' (rayon central de la broche)

diamètre = L / sin (180 / n) = 12,7 / sin (180 / n) mm = 'pcD' (diamètre central de la broche)

Maintenant, nous aurons besoin d'informations supplémentaires pour décrire les deux cercles / n-gons liés:

Pour les fonds de vallées et les sommets de rouleaux, nous devons connaître le rayon ou le diamètre du rouleau de chaîne autour de l'axe. Selon http://en.wikipedia.org/wiki/Roller_chain , une chaîne de la série 40 a un diamètre de rouleau de 0,312 "(7,92 mm). Étant donné que la distance entre l'axe central et le fond de la vallée est le rayon de le rouleau:

Cercle / n-gon sur les fonds de vallée

rRad = rayon du rouleau (3,96 mm pour la plupart des vélos)

Périmètre de n-gon des fonds de vallée = 2 * n * (pcRad - rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad - 3,96) * sin (180 / n) mm

floorRadius = pcRad - rRad = pcRad - 3,96 mm

floorDiameter = 2 * fRad = pcD - 2 * rRad = pcD - 7,92 mm

Cercle / n-gon des sommets des rouleaux de chaîne

Périmètre de n-gon des sommets à rouleaux = 2 * n * (pcRad + rRad) * sin (180 / n)

= 2n * (pcRad + 3,96) * sin (180 / n) mm

rollerTopRadius = pcRad + rRad = pcRad + 3,96 mm

rollerTopDiameter = 2 * rtRad = pcD + 2 * rRad = pcD + 7,92 mm

rollerTopCircumference = pi * rtD = pi * (pcD + 2 * rRad) = pi * (pcD + 7,92) mm

Maintenant, pour décrire le cercle / n-gon final, nous avons besoin de la hauteur des dents au-dessus des centres des broches. Je m'attendrais à ce que ce soit positif sur un nouvel anneau de chaîne et négatif sur un usé:

Cercle / n-gon des pointes des dents

t = hauteur de la pointe de la dent au-dessus du centre des broches (négatif si en dessous)

Périmètre de n-gon des extrémités des dents = 2 * n * (pcRad + t) * sin (180 / n)

tipRadius = pcRad + t

tipDiameter = 2 * tRad = pcD + 2 * t

tipCircumference = pi * tD = pi * (pcD + 2 * t)

Alternativement, pour rendre ce calcul un peu plus facile (mais légèrement moins précis sur un anneau de chaîne usé), vous pouvez mesurer votre propre espacement des dents. Idéalement, ils seraient légèrement plus longs que le pas de la chaîne, mais cela changera à mesure que la chaîne s'use:

Cercle / n-gon des pointes des dents - Alternatif

tSpacing = distance moyenne entre les pointes des dents

Périmètre de n-gon des extrémités des dents = n * t

tipRadius = tSpacing / (2 sin (180 / n))

tipDiameter = 2 * tRad = tSpacing / sin (180 / n)

tipCircumference = pi * tD = pi * tSpacing / (sin (180 / n))

ÉDITER:

J'ai posté cette question sur math.se , et j'ai obtenu une réponse intéressante , qui confirme essentiellement la réponse de Lantius comme le modèle mathématique le plus précis, et la mienne comme une approximation pratique pour le monde du vélo.

Avec seulement le nombre de dents, non.

Mais étant donné le nombre de dents et l'espacement requis d'un bout à l'autre de chaque dent pour correspondre à la chaîne pour la marque de bague utilisée, vous pouvez facilement déterminer la circonférence.

Avec la circonférence, il est simple de déterminer le diamètre.

Divisez le diamètre par Pi (3,14159 à la 5e décimale)

C = D / 3,14159

Donc, si le nombre de dents est de 53 et que l'espacement est de 12,75 mm, nous avons une circonférence de 675,75 millimètres.

675,75 millimètres divisé par 3,14159 donne un diamètre de 215,1 millimètres. Converti et arrondi à 2 places, il mesure 8,46 pouces.

J'ai mesuré le diamètre d'un anneau de chaîne Shimano de 53 dents, et il est de 8,51 pouces. Je pense donc que mes calculs doivent être aussi précis que les tolérances dans mes mesures.