Comment Kepler a-t-il «deviné» sa troisième loi à partir des données?

Il est étonnant que Kepler ait déterminé ses trois lois en regardant les données, sans calculatrice et en utilisant uniquement du stylo et du papier. On peut imaginer comment il a prouvé que ses lois décrivaient les données après les avoir déjà conjecturées, mais ce que je ne comprends pas, c'est comment il les a devinées en premier lieu.

Je me concentrerai en particulier sur la troisième loi de Kepler, qui stipule que le carré de la période orbitale d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'orbite.

Je suppose que Kepler ne travaillait qu'avec des données sur les planètes, plus notre propre lune et le soleil. Je fais cette supposition parce que je ne pense pas que Kepler disposait de données sur d'autres lunes, comètes ou astéroïdes, qui n'avaient pas encore été observées par télescope. Si cela est vrai, sachant que Neptune, Uranus et Pluton n'étaient pas encore découverts lorsque Kepler était en vie, cela signifie que Kepler avait moins de 9 points de données avec lesquels travailler.

Mon ami prétend que c'est tout à fait concis comment Kepler a deviné cette relation (bien qu'il ne fournisse aucune méthode sur la façon dont Kepler aurait pu le faire), et aussi que les observations de Kepler ne sont "pas si difficiles". Comme défi, j'ai donné à mon ami un tableau de données avec une colonne intitulée , l'autre et 9 coordonnées qui correspondent à la relation . J'ai dit "veuillez trouver la relation entre et ", et comme vous vous en doutez, il n'a pas réussi à le faire.y ( x , y ) x 4 = y 3 x $x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Veuillez m'expliquer comment Kepler a deviné dans le monde que cette relation fonctionnait avec si peu de points de données. Et si mon hypothèse selon laquelle le nombre de points de données dont Kepler disposait est petit, est fausse, je pense toujours qu'il est assez difficile de deviner cette relation sans calculatrice.

La troisième loi de Kepler est triviale (à mon avis) par rapport à sa première loi. Je suis assez impressionné qu'il ait pu déduire que les orbites étaient des ellipses. Pour l'obtenir, il a dû faire des allers-retours en traçant la direction de Mars depuis la Terre et la direction de la Terre depuis Mars. Il connaissait la durée des années des deux planètes, donc les observations prises à un an de Mars ne différeraient que parce que la Terre se serait déplacée.

Mais peut-être pas si banal. Il a publié ses deux premières lois en 1609. La troisième loi n'est intervenue que dix ans plus tard, en 1619. Avec dix ans pour y travailler, même la relation la plus obscure sera finalement trouvée.

Pour découvrir une relation de rapport de puissances, tracez les logarithmes des nombres. Dans votre exemple avec , les journaux traceraient sur une ligne droite avec une pente de . 3 /$x^4 = y^3$$3/4$

Le moment est bien choisi. Napier a publié son livre sur les logarithmes en 1614. Kepler a peut-être appliqué sur un coup de tête ce nouvel outil mathématique brillant à ses anciennes données croustillantes.

Le principal obstacle était qu'à l'époque il n'y avait que six planètes connues, donc il n'avait pas une abondance de points de données, et ceux qu'il avait n'étaient en aucun cas précis.

L'autre problème de Kepler est qu'aucune de ses lois n'a de sens pour lui. Ils correspondaient aux données, mais il ne savait pas pourquoi. Il n'avait pas les lois du mouvement de Newton pour travailler, il n'avait aucune compréhension de la force, de l'élan, de l'élan angulaire et certainement pas de la gravité. Pour autant qu'il le sache, les planètes ont bougé comme elles l'ont fait parce que Dieu l'a décrété, et les anges ont été chargés de pousser les planètes le long de leurs orbites. Les planètes extérieures se sont déplacées plus lentement parce qu'elles étaient poussées par des anges inférieurs.

(Feynman fait le commentaire que nous comprenons tellement plus maintenant. Nous savons maintenant que les anges sont à l'extérieur et se dirigent vers le Soleil.)

Le récit de Kepler sur la naissance de la troisième loi est le suivant (Caspar p. 286; c'est moi qui souligne):

Le 8 mars de cette année 1618, si l'on veut des informations exactes sur l'heure, cela apparaît dans ma tête. Mais je n'ai pas eu de chance quand je l'ai inséré dans le calcul et l'ai rejeté comme faux. Enfin, le 15 mai, il est revenu et avec un nouveau départ a conquis les ténèbres de mon esprit, où s'ensuivit un si excellent accord entre mes dix-sept ans de travail aux observations tychoniques et ma délibération actuelle que je crus d'abord que j'avais rêvé et assumer le recherché dans les preuves à l'appui. Mais il est tout à fait certain et exact que la proportion entre les temps périodiques de deux planètes quelconques est précisément une fois et demie la proportion des distances moyennes .

Bien que Kepler ne décrive pas réellement l'inspiration qui l'a amené à le croire, la formulation curieuse fournit un indice très fort lorsqu'il est combiné avec quelques informations biographiques de fond:

1. John Napier a publié Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto en 1614, qui contenait la toute nouvelle invention des logarithmes. Kepler était au courant de l'œuvre de Napier en 1617 (Caspar p. 308), peut-être plus tôt.
2. Joost Bürgi a publié des travaux sur les logarithmes presque en même temps que Napier, et Kepler était également conscient de Bürgi, louant même ses capacités mathématiques comme dépassant la plupart des professeurs de mathématiques.

Ainsi, la déclaration de Kepler équivaut à dire que les données font une pente de 1,5 sur un graphique log-log, une relation linéaire très simple à cette échelle.

Les références:

1. Caspar, Max, Kepler , (Douvres, New York, 1993).