Comment puis-je savoir, mathématiquement plutôt que par observation, si une lune est pleine?

Je connais les équations pour décrire l'orbite d'une lune autour d'une planète. Je connais le demi-grand axe et l'excentricité de la lune, et la même chose pour son monde hôte avec l'étoile en orbite.

Y a-t-il une équation qui me dit quelle quantité de lune est illuminée la nuit, et peut-être la luminosité, vue de la planète?

Les phases de la Lune peuvent être définies par l' angle de phase entre le Soleil, la Lune et la Terre; par exemple, à 0 °, la Lune est définie comme pleine et à 180 °, elle est définie comme nouvelle. Si vous voulez savoir à quel point la Lune est lumineuse à un angle donné, nous utiliserions l'angle de phase pour trouver les magnitudes apparentes et absolues de la Lune.

$H$

$$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$$

$d_0$$\chi$$p(\chi)$$d_{BO}$$d_{BS}$$d_{OS}$

$$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$$ $\chi$$H_{Moon} = +0.25$$d_{OS} = d_{BS} = 1$$d_{BO} = 0.00257$

$$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$$

Alors maintenant, nous avons une formule qui se rapproche de la magnitude apparente de la Lune à n'importe quel angle de phase donné. Cependant, même si cela donne une approximation proche, il n'est pas précis à 100%. Les astronomes utilisent des relations empiriquement dérivées pour prédire les magnitudes apparentes lorsqu'une précision est requise.

Voici un script rapide que j'ai écrit pour calculer la magnitude apparente, compte tenu de tout angle de phase: https://jsfiddle.net/fNPvf/33429/

Voici une approche pratique - l'algorithme et les équations sont regroupés sous forme de bibliothèque de logiciels.

Installez PyEphem:

http://rhodesmill.org/pyephem/

Exécuter:

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>> 

la «phase» se situe entre 0 (nouvelle lune) et 100 (pleine lune).

Plus de détails:

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html