Quelle est la forme (le long du plan, pas de haut en bas) des orbites stellaires dans les galaxies spirales plates

Ce que je veux dire, c'est qu'avec une masse centrale, les orbites sont relativement simples, mais les orbites autour de la galaxie sont différentes, essentiellement lorsque l'étoile orbite à travers le halo de matière noire, plus elle s'éloigne du centre de la galaxie, plus le champ gravitationnel est grand , alors que les orbites ont tendance à ralentir lorsque l'énergie cinétique est transformée en énergie potentielle, les étoiles orbitent effectivement autour de plus de masse plus elles sont éloignées du centre de la galaxie, ce qui pourrait les accélérer. La règle des zones égales sur un temps égal ne semble plus s'appliquer.

Donc, en ignorant les mouvements de haut en bas par rapport au plan de la galaxie, existe-t-il une forme commune pour les orbites galactiques? Existe-t-il une formule? Je pense que l'excentricité s'appliquerait toujours, mais je ne pense pas que les orbites seraient des ellipses, donc ce serait un autre type d'excentricité. Ces orbites auraient-elles tendance à se circulariser (dans un nuage de matière noire idéal, en ignorant les perturbations. De toute évidence, les perturbations conduiraient, dans un sens pratique, à des orbites imprévisibles, à des formules non ordonnées et bien rangées. Le champ magnétique de la Voie lactée joue également un rôle dans la formation de ses bras en spirale, mais je demande dans un sens mathématique idéal quelle forme les orbites auraient à travers une galaxie, d'un point de vue 2D, ignorant les mouvements de haut en bas.

Mise à jour

Il m'est venu à l'esprit que la question pourrait être plus simplement posée par un trou noir en effet "en orbite" à travers une planète ou même un neutrino à basse vitesse (s'il y a des neutrinos à basse vitesse). L'intérieur d'une orbite planétaire est assez différent de l'orbite Kepler, car la gravité augmente à mesure que l'objet s'éloigne du centre. L'orbite globale pourrait toujours être un peu comme une ellipse, mais les lois pour une telle orbite seraient différentes, vous verriez l'accélération la plus élevée aux points les plus éloignés du centre bien que vous verriez probablement toujours la vitesse la plus élevée au point le plus proche du point centre.

Quoi qu'il en soit, je suis surtout curieux de savoir si cette forme a été élaborée et à quoi elle ressemble.

C'est une question intéressante et il est souvent difficile de répondre à des questions intéressantes avec les connaissances actuelles, mais celle-ci peut être résolue dans une certaine mesure. Je vais parcourir les bases de la théorie orbitale et décrire comment elles peuvent s'appliquer aux galaxies et en quoi elles diffèrent des systèmes képlériens. Vous devez avoir une compréhension raisonnable de la physique newtonienne (après tout, les orbites dérivent précisément des lois de Newton) et une solide connaissance des mathématiques. Si vous n'avez pas ces choses, passez simplement à la fin de chaque section où j'essaierai de résumer les points importants derrière les mathématiques.

Une note rapide sur la notation mathématique que je vais utiliser. Un point sur un symbole indique une dérivée temporelle (par exemple, ) et les symboles en gras non italiques sont des quantités vectorielles (par exemple, ). Nous allons passer aux choses sérieuses.$\dot{a}$$\bf F$

L'équation orbitale du mouvement

Considérons une masse comme une position et se déplaçant avec un mouvement décrit par . Cette masse subit une force qui n'est fonction que de la distance radiale, , par rapport au centre du système de coordonnées. Le but ici est de déterminer l'équation du mouvement qui peut décrire l'orbite de la masse due à cette force. Cette équation peut ensuite être utilisée pour résoudre . Par la loi de Newton, l'équation du mouvement peut être initialement définie comme$m$$\bf r$$\bf \dot{r}$$\textbf{F}(r)$$r$$r(\theta)$

$$\textbf{F}(r) = m\textbf{a} = m\Big(\ddot{r} - r\dot{\theta}^2\Big)$$

Notez que dans ce cas, est simplement la composante radiale de et est l'angle azimutal du corps dans un système de coordonnées sphériques. Je vous laisse le soin de déterminer comment décomposer l'accélération en deux composantes ci-dessus, sous le système de coordonnées approprié. Essayons de supprimer notre dépendance afin que nous n'ayons qu'une fonction de . Ceci peut être réalisé en utilisant la conservation du moment angulaire. Le moment angulaire par unité de masse est donné par sorte que . Cela donne$r$$\bf r$$\theta$$\theta$$r$$\ell = r^2\dot{\theta}$$\dot{\theta} = \ell/r^2$

$$\textbf{F}(r) = m\big(\ddot{r} - \ell^2/r^3\big)$$

C'est maintenant une équation différentielle qui nous permet de résoudre pour , mais nous voulons donc nous devons faire une conversion. Reprenons le paramétrage en définissant (la raison deviendra claire dans un instant) et en déterminant en termes de et .$r(t)$$r(\theta)$$u \equiv 1/r$$\ddot{r}$$u$$\theta$

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{1}{u}\bigg)=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{\dot{\theta}}{u^2}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}=-\ell\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}$$

Notez la substitution de . Maintenant, différenciez à nouveau pour déterminer .$\ell=r^2\dot{\theta}=\dot{\theta}/u^2$$\ddot{r}$

$$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}(r)=-\ell\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg)=-\ell\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\bigg(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}\theta}\bigg) = \ell\dot{\theta}\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}=-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2}$$

Mettre cela dans notre expression pour l'équation du mouvement et faire la transformation que donne finalement$r=1/u$

$$\textbf{F}(1/u) = m\Big(-\ell^2 u^2 \frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} - \ell^2 u^3\Big)$$

En écrivant sous une forme plus pratique, nous arrivons enfin à

$$\boxed{\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{\textbf{F}(1/u)}{m\ell^2u^2}}$$

Rappelez-vous que est la masse du corps, , est le moment angulaire par unité de masse, est une force purement radiale agissant sur le corps, et et sont les positions des coordonnées radiales et azimutales de la masse.$m$$u(\theta) \equiv 1/r(\theta)$$\ell$$\bf F$$r$$\theta$

Punchline : Le résultat final ici est une équation générale de mouvement pour un corps en orbite selon une force arbitraire. Cela peut être la gravité, l'électromagnétique, une force de ressort ou tout autre élément que nous décidons. Il est délibérément dérivé d'hypothèses générales et non restrictives et, espérons-le, vous pouvez voir qu'il peut être utilisé pour comprendre le mouvement orbital d'une étoile en orbite dans une galaxie à disques. Le but de cette équation devrait être de brancher votre force (quelle qu'elle soit) et de résoudre . De là, il est facile de déterminer .$u(\theta)$$r(\theta)$

Mouvement Keplerien

Avant de nous intéresser au mouvement orbital dans une galaxie, regardons le mouvement Keplerien standard afin d'avoir quelque chose à comparer. Le mouvement képlérien dérive de l'hypothèse que notre masse est en orbite autour d'une seule masse ponctuelle et sous l'influence de la gravité simple. Dans ce cas, nous pouvons écrire notre force comme et donc , où est une constante, définie ici pour la simplicité mathématique. Notez que est la constante gravitationnelle. L'équation orbitale générale, sous cette force, devient maintenant$m$$M$$F(r) = kr^{-2}$$F(1/u) = ku^2$$k\equiv GMm$$G$

$$\frac{\mathrm{d}^2u}{\mathrm{d}\theta^2} + u = -\frac{k}{m\ell^2}$$

Il s'agit d'une équation différentielle non homogène de second ordre standard avec une fonction de forçage constante. Si vous connaissez votre Diff EQ, vous devriez connaître la solution presque immédiatement.

$$u(\theta) = \frac{k}{m\ell^2} + A\cos (\theta - \theta_0)$$

Dans cette équation, est une constante inconnue, et représente l'angle de départ de l'orbite, que nous pouvons arbitrairement choisir comme zéro. Notre but ultime est d'obtenir alors faisons-le. Je vais faire quelques étapes en une et vous laisser travailler sur les mathématiques intermédiaires. Je vais remplir pour et définir le moment angulaire comme où est la masse réduite de notre système . Je dirai également, sans preuve, que où est l'excentricité de l'orbite.$A$$\theta_0$$r(\theta)$$k = GMm$$L = \ell\mu$$\mu$$e = A(m\ell^2/k)$$e$

$$\boxed{r(\theta) = \frac{L^2/GM\mu^2}{1+e\cos (\theta)}}$$

Punchline : Nous avons trouvé une équation finale qui représente le mouvement orbital d'une masse sous l'influence d'une gravité en raison d'un point comme masse . Si vous connaissez vos affaires, vous verrez que cette équation décrit précisément les sections coniques, en fonction de la valeur de . Si , vous obtenez un mouvement circulaire (puisque devient une constante). Si , vous obtenez un mouvement elliptique, est un mouvement parabolique et est hyperbolique.$M$$e$$e = 0$$r(\theta)$$0 < e <1$$e=1$$e > 1$

Comme prévu, le mouvement de Kepler (c'est-à-dire ayant une force centrale telle que ) a entraîné des coniques, ce qui est précisément la première loi de Kepler. Les deuxième et troisième lois de Kepler dérivent plus ou moins des mêmes hypothèses. Il va de soi que tout système où ne suit aucune des lois de Kepler. Les orbites ne sont pas des coniques parfaites (par exemple, des ellipses, des cercles, etc.), elles ne balayent pas des zones égales en des temps égaux, et la norme ne s'applique certainement pas.$F\propto r^{-2}$$F \not \propto r^{-2}$$P^2 \propto a^3$

Mouvement orbital dans une galaxie

Votre question décrit correctement la situation des étoiles (ou quelque chose de vraiment) en orbite dans une galaxie. Les étoiles ne sont pas en orbite autour de masses centrales ponctuelles. Ils sont intégrés à la fois à la matière baryonique et à la matière noire qui comprend la galaxie et sont en orbite à travers elle. C'est un concept bien connu en physique que les distributions de masse à symétrie sphérique n'ont pas d'attraction gravitationnelle nette sur les objets à l' intérieur de cette distribution, ce qui signifie que pour les étoiles d'une galaxie, la masse affectant son orbite est l'intérieur de la masse à son rayon. Si ce rayon change, la masse change!

La force centrale sur notre étoile sera toujours la gravité, mais la masse agissant sur elle sera toute la masse intérieure à un certain rayon, notée . Nous pouvons voir que . Si nous voulons déterminer la force agissant sur notre étoile (et donc l'orbite exacte, via l'équation différentielle ci-dessus), nous devons d'abord déterminer quelle est la masse intérieure à un certain rayon. Ceci peut être réalisé en utilisant l' équation de continuité de masse .$M_r$$F(r) = GM_r(r)m/r^2$

$$\frac{\mathrm{d}M_r}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2 \rho(r)$$

Vous pouvez essentiellement comprendre toute la masse intérieure à en intégrant toute la densité de masse en fonction de . Ici, bien sûr, vous avez besoin d'une bonne équation pour . Un profil de densité simple mais physiquement irréaliste est la sphère isotherme singulière (SIS), tandis qu'une équation plus réaliste, mais mathématiquement complexe pourrait être le profil NFW ou le profil Einasto .$r$$r$$\rho(r)$

J'ai maintenant présenté toutes les étapes dont vous avez besoin pour comprendre le mouvement orbital dans une galaxie, mais je dois dire que ce n'est pas joli. Nous pouvons cependant considérer une partie du cas le plus simple, celui du SIS.

Sphère isotherme unique

Pour la sphère isotherme singulière, vous avez que , où est la vitesse de rotation de votre étoile. Ce profil repose sur un fait crucial des galaxies à disques leur profil de rotation est plat! Cela était bien établi, par exemple par Ruben et al. 1978 . J'ai reproduit une figure de cet article ci-dessous qui montre la courbe de rotation de plusieurs galaxies. Le point important ici est que cela montre que est constant et ne dépend pas du rayon! (En supposant que nous ne sommes pas près du renflement ou du centre galactique. C'est une bête complètement différente.)$\rho(r) = v^2/(4\pi Gr^2)$$v$$-$$v$

Avec cette information cruciale, nous pouvons résoudre pour en intégrant (que je vous laisse). Le résultat est que$M_r$$\rho(r)$

$$M_r = \frac{v^2r}{G}$$

Cela signifie que votre force est donnée par

$$F(r) = \frac{v^2rm}{r^2} = \frac{v^2m}{r}\Rightarrow F(1/u) = v^2mu\propto ku$$

Vous pouvez voir ici que contrairement au cas Keplerien, notre force est proportionnelle à plutôt qu'à . Vous pouvez effectuer ce processus avec d'autres profils de densité (tels que le NFW ou l'Einasto I répertoriés ci-dessus), mais vous obtiendrez le même résultat.$r^{-1}$$r^{-2}$

Si vous êtes si enclin, vous pouvez choisir de le brancher dans l'équation orbitale du mouvement ci-dessus et de le résoudre, mais vous travaillez maintenant avec une équation différentielle non linéaire et les choses peuvent devenir rapidement désordonnées.

Punchline : Je ne sais pas si cela répond réellement à votre question ou non. Je vous ai conduit partiellement dans le terrier du lapin, mais j'espère que vous comprendrez à quel point cela devient rapidement complexe. Tous les travaux ci-dessus utilisaient des hypothèses générales et des simplifications. Je suppose que la réponse courte à tout cela est que les étoiles orbitent des galaxies dans une orbite complexe mais fermée qui n'est pas facilement décrite avec précision (même pour notre propre galaxie) via des équations calculables. Nous pouvons approximer et faire de notre mieux pour travailler à travers les mathématiques, mais à la fin c'est une approximation. Dans les approximations les plus grossières, vous pouvez aussi considérer qu'une orbite telle que notre étoile est circulaire et en finir avec elle.