Les exponentielles complexes sont-elles les seules fonctions propres des systèmes LTI?

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Existe-t-il un exemple de fonction propre d'un système linéaire invariant dans le temps (LTI) qui n'est pas une exponentielle complexe? Les fonctions propres des systèmes LTI de Justin Romberg disent que de telles fonctions propres existent, mais je ne suis pas en mesure d'en trouver une.

linear-systems theory eigendecomposition

— Vinod
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Toutes les fonctions propres d'un système LTI peuvent être décrites en termes d'exponentielles complexes, et les exponentielles complexes forment une base complète de l'espace du signal. Cependant, si vous avez un système dégénéré , ce qui signifie que vous avez des sous-espaces propres de dimension> 1, alors les vecteurs propres à la valeur propre correspondante sont tous des combinaisons linéaires de vecteurs du sous-espace. Et les combinaisons linéaires d'exponentielles complexes de fréquences différentes ne sont plus des exponentielles complexes.

Exemple très simple: l'opérateur d'identité 1 en tant que système LTI a tout l'espace de signal en tant qu'espace propre avec valeur propre 1. Cela implique que TOUTES les fonctions sont des fonctions propres.

— Jazzmaniac
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Sauf la fonction nulle bien sûr :) Je plaisante

— Laurent Duval

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$\operatorname{sinc}$

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
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C'est plutôt le contraire: la règle est que les systèmes LTI ont des sous-espaces propres dégénérés et donc des vecteurs propres qui ne sont pas des exponentielles complexes. Prenons un système avec une sortie réelle. Alors , ce qui signifie que si est réel et , alors vous avez déjà un sous-espace propre à deux dimensions et le vrai sinus est un vecteur propre. Cela signifie que tout système LTI qui a une réponse de phase qui devient un multiple de pour qualifié. C'est la règle plutôt que l'exception.

H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

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en fait, toute exponentielle pure est une fonction propre à un système LTI. si cela ne vous dérange pas de traiter des quantités approchant rapidement , alors il n'y a aucune exigence théorique pour que l'exponentielle soit complexe ou réelle.

\infty

$\infty$

— robert bristow-johnson

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je sais que j'ai édité votre réponse (pour la rendre plus claire et plus correcte avec la sémantique), mais votre réponse est erronée. n'est pas une fonction propre générale à un système LTI général. il est une fonction propre pour BPT de spécifique qui ont , mais pas pour d' autres.

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

— robert bristow-johnson

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évidemment "si cela ne vous dérange pas de traiter des quantités approchant rapidement ∞" n'est pas la même chose que "l'espace du signal qui est généralement considéré ... l'espace de Hilbert truqué des fonctions intégrables carrées". Tout ce que je dis, c'est que si est votre entrée, alors est votre sortie (où est le Laplace transformée de la réponse impulsionnelle LTI ). ressemble à une fonction propre pour moi. mais vous avez raison sur les spécifications de CSR.

x (t) = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y (t) = H (s) \cdot x (t)

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$

— robert bristow-johnson

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@ Fat32, exiger un espace fonctionnel bien comporté n'est pas une question de stabilité et c'est loin d'être inutile ou arbitraire. La plupart des résultats utiles de la théorie du traitement du signal reposent sur des espaces de signal bien comportés. Le théorème spectral ( en.wikipedia.org/wiki/Spectral_theorem ) est particulièrement utile , et ce théorème nécessite certains espaces fonctionnels, dont est un choix possible. Si vous souhaitez appliquer ce cadre mathématique (et croyez-moi, vous le souhaitez), vous ne pouvez pas accepter les signaux que vous proposez comme signaux numériques.

L^{2}

$L^2$

— Jazzmaniac

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Je pensais avoir rédigé ma réponse clairement --- apparemment pas :-). La question initiale était: "Y a-t-il des signaux propres en plus de l'exponentielle complexe d'un système LTI?". La réponse est, si l'on tient compte du fait que le système est LTI mais que rien d'autre n'est connu, alors le seul signal de présence confirmé est l'exponentielle complexe. Dans des cas spécifiques, le système peut également avoir des signaux électroniques supplémentaires. L'exemple que j'ai donné était le LPF idéal avec sincère un tel signal. Notez que la fonction sinc n'est pas un signal propre d'un système LTI arbitraire. J'ai donné le LPF et le sinc comme exemple pour pointer un cas non trivial --- x (t) = y (t) satisfera un mathématicien mais pas un ingénieur: ->. Je suis sûr que l'on peut trouver d'autres exemples spécifiques non triviaux qui ont d'autres signaux comme signaux propres en plus de l'exponentielle complexe.

De plus, cos et sin ne sont pas, en général, des signaux eigens. Si cos (wt) est appliqué et que la sortie est A cos (wt + thêta), alors cette sortie ne peut pas être exprimée comme une constante fois l'entrée (sauf lorsque thêta est 0 ou pi, ou A = 0), ce qui est la condition nécessaire pour qu'un signal soit un signal propre. Il peut y avoir des conditions dans lesquelles cos et sin sont des signaux propres, mais ce sont des cas particuliers et non généraux.

CSR

— CSR
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Êtes-vous sûr d'avoir compris mon commentaire à votre autre réponse? Le fait est que pour les systèmes LTI réels, il devrait avoir un vrai sinus comme signal eigensal. Cela ne signifie pas que tous les sinus de toutes les fréquences sont des signaux propres. J'ai spécifiquement donné la condition précise pour laquelle ils sont tels et expliqué pourquoi cette condition est remplie par la plupart des systèmes LTI.

— Jazzmaniac

N'oubliez pas non plus que vous avez modifié votre réponse pour en changer un peu le sens. L'étape de "Pour une fonction de transfert rationnelle, il n'y a pas d'autres signaux propres" à "Pour les systèmes arbitraires, il n'y a pas de signaux propres généraux en plus .." est assez grande. Donc, dire que les gens n'ont pas bien compris votre réponse, c'est un peu trop.

— Jazzmaniac

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Peut-être des objets multidimensionnels spatialement invariants comme des lentilles à symétrie circulaire. Il s'agit de l'extension Fourier Bessel. Il n'y a pas de T pour le temps mais les relations de domaine de fréquence de convolution tiennent